ハーシャッド数
ハーシャッド数（ハーシャッドすう、英: harshad number）とは、各位の和（数字和）が元の数の約数であるような自然数である。
例えば、195 は各位の和が 1 + 9 + 5 = 15 であり、15 は 195 の約数であるので 195 はハーシャッド数である。
ハーシャッド数はインドの数学者 D. R. Kaprekar によって定義され、サンスクリット語の harṣa （喜び）と da （与える）が語源である。イヴァン・ニーベンの名を冠し、ニーベン数（Niven number）とも呼ばれる。
ハーシャッド数は無数に存在し、そのうち最小の数は 1 である。十進法でのハーシャッド数を 1 から小さい順に列記すると
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 18, 20, 21, 24, 27, 30, 36, 40, 42, 45, 48, 50, 54, 60, 63, 70, 72, 80, 81, 84, 90, 100, …（オンライン整数列大辞典の数列 A005349）
定義
自然数 X を n 進法で m 桁の数とする。右端から i 桁目の数字を ai (i = 0, 1, …, m - 1) とすると、
- [math]X = \sum_{i=0}^{m-1} a_i n^i[/math]
である。
- [math]X = A\sum_{i=0}^{m-1} a_i[/math]
を満たす自然数 A が存在するとき、X は n 進法でのハーシャッド数である。
性質
n 進法の場合、1 から n までの数および nk（k は自然数）[1]は必ずハーシャッド数である。特に 1, 2, 4, 6 の 4 数だけは何進法においてもハーシャッド数となる。
ハーシャッド数は 1 桁の素数と 10 自体が素数である場合を除いて全て合成数である。
H. G. Grundman は1994年に、十進法では 21 個以上の連続する自然数が全てハーシャッド数になるような組はないことを証明した。また彼は 20 個の連続する自然数が全てハーシャッド数になる最小の組を見つけ、それらは 1044363342786 を超える数である。二進法では 4 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組は無数に存在し、三進法では 6 つの連続する自然数が全てハーシャッド数であるような組が無数に存在する。これらの事実は T. Cai によって1996年に証明された。一般的にそれらの数の組は n 進法で N×nk-n から N×nk+(n-1) までの連続する 2n 個の数である。ここで N はある定数で k は比較的大きな数である。
数の間に 0 が連続して続く数を使って無数にハーシャッド数を作ることができる。例えば 21 を使うと、21, 201, 2001, 20001 などは全てハーシャッド数になる。
自然数 x 以下のハーシャッド数の個数を N(x) とおくと、どんな正の数 ε に対しても以下の式が成り立つ。
- [math]x^{1-\varepsilon} \ll N(x) \ll \frac{x\log\log x}{\log x}[/math]
これは Jean-Marie De Koninck と Nicolas Doyon によって証明された。De Koninck、Doyon、Kátai はまた
- [math]N(x) = (c+o(1))\frac{x}{\log x}[/math]
を証明した。ただし c = (14/27)log10 = 1.1939… である。
各位の和 (ハーシャッド数の基数、数字和) が1, 3, 9となる数はすべてハーシャッド数である。特に10の累乗数はすべてハーシャッド数である。
一覧
| 基数 | 10000までの個数 | 具体例 | 詳細 (オンライン整数列大辞典) |
|---|---|---|---|
| 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, 1000000, 10000000, 100000000, … | テンプレート:OEIS2C | ||
| 2, 20, 110, 200, 1010, 1100, 2000, 10010, 10100, 11000, … | テンプレート:OEIS2C | ||
| 3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, … | テンプレート:OEIS2C | ||
| 4, 40, 112, 220, 400, 1012, 1120, 1300, 2020, 2200, … | テンプレート:OEIS2C | ||
| 5, 50, 140, 230, 320, 410, 500, 1040, 1130, 1220,… | テンプレート:OEIS2C | ||
| 6, 24, 42, 60, 114, 132, 150, 204, 222, 240,… | テンプレート:OEIS2C | ||
| 7, 70, 133, 322, 511, 700, 1015, 1141, 1204, 1330,… | テンプレート:OEIS2C | ||
| 8, 80, 152, 224, 440, 512, 800, 1016, 1160, 1232,… | テンプレート:OEIS2C | ||
| 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, … | テンプレート:OEIS2C | ||
| 190, 280, 370, 460, 550, 640, 730, 820, 910, 1090,… | テンプレート:OEIS2C | ||
| 209, 308, 407, 506, 605, 704, 803, 902, 2090, 3080,… | |||
| 48, 84, 156, 192, 228, 264, 336, 372, 408, 444,… | |||
| 247, 364, 481, 715, 832, 1066, 1183, 1417, 1534, 1651,… | |||
| 266, 392, 518, 644, 770, 1148, 1274, 1526, 1652, 1904,… | |||
| 195, 285, 375, 465, 555, 645, 690, 735, 780, 825,… | |||
| 448, 592, 736, 880, 1168, 1456, 1744, 2176, 2464, 2608,… | |||
| 476, 629, 782, 935, 1088, 1394, 1547, 1853, 2159, 2465,… | |||
| 198, 288, 378, 396, 468, 486, 558, 576, 594, 648, 666, 684, 738, … | |||
| 874, 1387, 1558, 1729, 2584, 2755, 2926, 3097, 3268, 3439,… | |||
| 3980, 4880, 5780, 5960, 6680, 6860, 7580, 7760, 7940, 8480,… | |||
| 399, 588, 777, 966, 1596, 1659, 1785, 1848, 1974, 2289,… | |||
| 2398, 2596, 2794, 2992, 3388, 3586, 3784, 3982, 4378, 4576,… | |||
| 1679, 1886, 3749, 3956, 4577, 4784, 4991, 5198, 5819, 6647,… | |||
| 888, 1896, 1968, 2688, 2976, 3696, 3768, 3984, 4488, 4776,… | |||
| 4975, 5875, 6775, 7675, 8575, 9475, 9925, 13975, 14875, 15775,… | |||
| 1898, 5876, 6578, 7748, 7982, 8684, 8918, 9386, 9854, 12896,… | |||
| 999, 1998, 2889, 2997, 3699, 3888, 3969, 3996, 4698, 4779,… | |||
| 7588, 8596, 8848, 9856, 13888, 14896, 17668, 18676, 18928, 19684,… | |||
| 4988, 7598, 7859, 9686, 9947, 15689, 16994, 17777, 18299, 19865,… | |||
| 39990, 48990, 49890, 49980, 57990, 58890, 58980, 59790, 59880, 59970,… | |||
| 8959, 9796, 17887, 25699, 25978, 28489, 28768, 29884, 36859, 37696,… | |||
| 17888, 27968, 29696, 29984, 36896, 39488, 39776, 46688, 46976, 48992,… | |||
| 42999, 43989, 44979, 45969, 47949, 48939, 49929, 52899, 52998, 53889,… | |||
| 28798, 37978, 38896, 48688, 48994, 57868, 58786, 59398, 63988, 67966,… | |||
| 57995, 59885, 69965, 76895, 78785, 86975, 88865, 89495, 95795, 97685,… | |||
| 29988, 38988, 39888, 47988, 48888, 48996, 49788, 49896, 49968, 56988,… | |||
| 37999, 38998, 39997, 47989, 48988, 49987, 57979, 58978, 59977, 67969,… | |||
| 59888, 76988, 78698, 88958, 89984, 95798, 98876, 129998, 179588, 187796,… | |||
| 49998, 67899, 69888, 78897, 79599, 87789, 88959, 89778, 89895, 95979,… | |||
| 699880, 789880, 798880, 879880, 888880, 897880, 898960, 899680,… | |||
| 177899, 188969, 288599, 288968, 295979, 299669, 369779, 377897,… | |||
| 88998, 189798, 197988, 198996, 199878, 298788, 299796, 369978,… | |||
| 99889, 179998, 188899, 299968, 388978, 397879, 477988, 486889,… | |||
| 479996, 489896, 499796, 578996, 579788, 588896, 589688, 598796,… | |||
| 499995, 589995, 598995, 599895, 599985, 679995, 688995, 689895,… |
- 各基数における最小のハーシャッド数は テンプレート:OEIS2C、2番目は テンプレート:OEIS2C を参照。
- 各基数 n における n 番目のハーシャッド数は テンプレート:OEIS2C を参照。
各種数列
- ハーシャッド数がフィボナッチ数である数は
- ハーシャッド数が三角数である数は
- ハーシャッド数が平方数である数は
- ハーシャッド数が楔数である数は
- ハーシャッド数が五角数である数は
- ハーシャッド数が立方数である数は
- 立方数になるハーシャッド数のうち、各位の和の基数と n3 の n が等しい数は
- ハーシャッド数が回文数である数は
- ハーシャッド数が半素数である数は
- ハーシャッド数のうち、（元の数） ÷ （各位の和）で求められた商がまたハーシャッド数になり、最後には1となる数がある。その数は
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 18, 21, 24, 27, 36, 42, 45, 48, 54, 63, 72, 81, 84, 108, 162, 216, 243, 324, 378, 405, …（オンライン整数列大辞典の数列 A114440）
- （例：216 ÷ (2+1+6) = 24 → 24 ÷ (2+4) = 4 → 4 ÷ 4 = 1）
- ハーシャッド数でかつ各位の積で割り切れる数(ズッカーマン数)は
- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 12, 24, 36, 111, 112, 132, 135, 144, 216, 224, 312, 315, 432, 612, 624, 735, 1116, …（オンライン整数列大辞典の数列 A038186）
- （例：216 ÷ (2+1+6) = 24、216 ÷ (2×1×6) = 18）
- 階乗数のうちハーシャッド数でない最小の数は 432! である。
関連項目
脚注
- ↑ 最上桁の 1 ひとつと 0 のみで構成されている nk は必ず各位の和が 1 となる。
参考文献
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Harshad Number”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。