回文数

回文数（かいぶんすう、Palindromic number）とは、なんらかの位取り記数法（n進法）で数を記した際、たとえば十進法において14641のように逆から数字を並べても同じ数になる数である。同様の言葉遊びである回文にちなむ名前である。具体的には

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191,…(オンライン整数列大辞典の数列 A002113)

である。
回文数は、趣味の数学の分野ではよく研究の対象になる。代表的なものとしては、ある性質を持った回文数を求めることがある。以下のようなものがよく知られている。

回文素数

2, 3, 5, 7, 11, 101, 131, 151, …

回文平方数

0, 1, 4, 9, 121, 484, 676, 10201, 12321, …

バックミンスター・フラーは著書の中で、回文数を「シャハラザード数」とも呼んでいる。これは、『1001夜物語』（1001も回文数である）のヒロインの名にちなんでいる。

定義

任意の整数 n > 0 は、b 進法（ただし、b ≧ 2）の位取り記数法により k + 1 桁の数字として以下の式で一意的に表すことができる。

[math]n=\sum_{i=0}^ka_ib^i,[/math]　ただし、任意の i に対し 0 ≦ a_i < b, a_k ≠ 0

n が回文数になるのは、任意の i に対して a_i = a_k−i が成り立つときである。また、0は何進法においても回文数である。

十進法における回文数

すべての1桁の数は回文数である（これは記数法に依らない）。十進法では以下の10個である。

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

2桁の回文数は以下の9個である。

• 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99

3桁の回文数は90個ある。

• 101, 111, 121, 131, 141, 151, 161, 171, 181, 191, … 909, 919, 929, 939, 949, 959, 969, 979, 989, 999

4桁の回文数は90個ある。

• 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991, ..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999

主な回文数の個数

最大桁数	1桁	2桁	3桁	4桁	5桁	6桁	7桁	8桁	9桁	10桁	OEIS
総数	10	19	109	199	1099	1999	10999	19999	109999	199999	オンライン整数列大辞典の数列 A002113
偶数	5	9	49	89	489	889	4889	8889	48889	88889	オンライン整数列大辞典の数列 A062287
奇数	5	10	60	110	610	1110	6110	11110	61110	111110	オンライン整数列大辞典の数列 A029950
平方数	3		6		13	14	19				オンライン整数列大辞典の数列 A002779
素数	4	5	20		113		781		5953		オンライン整数列大辞典の数列 A002385
平方数を約数として持たない数	6	12	67	120	675
平方数を約数として持つ数（μ(n)=0）	3	6	41	78	423
素数の平方	2		3		5						オンライン整数列大辞典の数列 A065379
偶数個の素数の積（μ(n)=1）	2	6	35	56	324
奇数個の素数の積（μ(n)=−1）	5	7	33	65	352
2つの素数の積	3	7	36	50	269						オンライン整数列大辞典の数列 A046328
3つの素数の積	1	4	26	58	295						オンライン整数列大辞典の数列 A046329
楔数	0	1	12	42	229						オンライン整数列大辞典の数列 A046393
カーマイケル数	0					1
約数の和（σ(n)）も回文数になる	6	10	47	114	688						オンライン整数列大辞典の数列 A028980

(注意．上位桁の個数は下位桁の個数を含む。)

• 平方したとき回文数になる非回文数は 26, 264, 307, 836, 2285, 2636, 22865,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A059744)

(例. 264² = 69696)

• 立方数が回文数になる数は 1, 2, 7, 11, 101, 111, 1001, 2201, 10001,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A002780)

(例. 2201³ = 10662526601)

11の倍数

偶数桁の回文数は、11の倍数である。

11*101*1001*10001を繰り返していった場合も、その値は回文数になり続ける。

11自体も回文数であり、回文数×回文数になっているものもある（太字は回文素数）。

• 1111（101）, 1221（111）, 1331（121）, 1441（131）, 1551（141）, 1661（151）, 1771（161）, 1881（171）, 1991（181）
• 2222（202）, 2332（212）, 2442（222）, 2552（232）, 2662（242）, 2772（252）, 2882（262）, 2992（272）
• 3333（303）, 3443（313）, 3553（323）, 3663（333）, 3773（343）, 3883（353）, 3993（363）
• 4444（404）, 4554（414）, 4664（424）, 4774（434）, 4884（444）, 4994（454）
• 5555（505）, 5665（515）, 5775（525）, 5885（535）, 5995（545）
• 6666（606）, 6776（616）, 6886（626）, 6996（636）
• 7777（707）, 7887（717）, 7997（727）
• 8888（808）, 8998（818）
• 9999（909）

Lychrelプロセス

"「Lychrel number」"

回文数でない数から回文数を作る方法として、逆にした数を加えていく、Lychrelプロセスがある。

たった1回の操作で回文数ができるものは、以下のような数がある。 33（12+21）以降の2桁の回文数、121（29+92 = 38+83 = 47+74 = 56+65）、303（102+201）……。

なお、3桁の数（100 - 999の900個）のうち以下の13個は、何度操作を繰り返していっても回文数にならないとされている（通称「196問題」）。

196, 295, 394, 493, 592, 689, 691, 788, 790, 879, 887, 978, 986

十進法以外

ここまでの節で扱ったものは全て十進法における回文数であるが、十進法以外でも任意の位取り記数法において回文数は存在する。例えば二進法の回文数は

0, 1, 11, 101, 111, 1001, 1111, 10001, 10101, 11011, 11111, 100001, …(オンライン整数列大辞典の数列 A057148)

となる。メルセンヌ数やフェルマー数は、二進法における回文数に含まれる。(上記の二進法の回文数において対応する十進法の数はオンライン整数列大辞典の数列 A006995を参照。)

多くの場合、十進法での回文数は他の記数法においては回文数にはならないし、他の記数法での回文数は十進法では回文数にならない。例えば十進法の16461は、十六進法では404Dとなる。

しかし、複数の記数法において回文数になる数も存在する。例えば十進法における105は、四進法(1221)・八進法(151)・十四進法(77)・二十進法(55)・三十四進法(33)で回文数となる。また、十進法における1991は十六進法(7C7)でも回文数となる。

任意の数字 n は、b 進法（ただし、b ≧ n + 1 又は b = n − 1）において回文数となる。2 ≦ b ≦ n − 2 であるすべての b 進法において n が回文数にならないとき、n をstrictly non-palindromic number と呼ぶ。

十八進法において、7の累乗のいくつかは回文数になる。

73 =     111
74 =     777
76 =   12321
79 = 1367631

すべての記数法において、回文数は無限に存在する。例えば、

• 1, 11, 101, 1001, 10001, …
• 1, 11, 111, 1111, 11111, …

といったようにして、いくらでも挙げることができる。

関連項目

• 回文
• ぞろ目
• レピュニット
• 西山豊「数学を楽しむ／回分数と196」『理系への数学』2006年10月号, Vol.39, No.10, 58-61. - Lychrel numberについての記事