三角数
三角数（さんかくすう、英: triangular number）とは多角数の一種で、正三角形の形に点を並べたときにそこに並ぶ点の総数のことである。n番目の三角数は 1 から n までの自然数の和に等しい。
定義と例
一辺に n 個の正三角形となるように点を等間隔に並べたときの点の総数は1 から n までの自然数の和に等しくなり、
- [math]1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2} \quad (n \geqq 1).[/math]
と表される。
これを n番目の三角数といい、Tn で表す。三角数は無数にあり、最小のものは 1 である。
例えば 10 は一辺に点を4個並べたときに該当するので三角数の一つである。
| 1 | 3 | 6 | 10 | 15 | 21 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ● | ○ ●● |
○ ○○ ●●● |
○ ○○ ○○○ ●●●● |
○ ○○ ○○○ ○○○○ ●●●●● |
○ ○○ ○○○ ○○○○ ○○○○○ ●●●●●● |
特に三角数 10 (= 1 + 2 + 3 + 4) はピタゴラス（学派）にとって「完全なる数」として大事な数とされた。
- [math]T_n =1+2+3+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2} \quad (n \geqq 1).[/math]
において、T0 = 0 と定義すると n = 0 のときも成り立つ。この式は下図のように、n番目の三角数を灰色の点の三角形と赤色の点の三角形でそれぞれ表し、2つの三角形を組み合わせると、高さ n, 底辺 n + 1 の長方形になり、その長方形の面積の半分として得ることができる。
| 2 | 6 | 12 | 20 | 30 | 42 | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| ●○ | ●○○ ●●○ |
●○○○ ●●○○ ●●●○ |
●○○○○ ●●○○○ ●●●○○ ●●●●○ |
●○○○○○ ●●○○○○ ●●●○○○ ●●●●○○ ●●●●●○ |
●○○○○○○ ●●○○○○○ ●●●○○○○ ●●●●○○○ ●●●●●○○ ●●●●●●○ |
三角数の列は次のようになる。
- 0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120, 136, 153, 171, 190, 210, 231, 253, 276, 300, 325, 351, 378, 406, 435, 465, 496, 528, 561, 595, 630, 666, 703, 741, 780, 820, …（オンライン整数列大辞典の数列 A217）
類似の関係
三角数を2倍した数を矩形数（くけいすう）という。矩形数とは、縦と横で並ぶ点の個数を 1 だけ違う長方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。すなわち、連続する2整数の積である。矩形とは長方形のことで、長方形数ということもある。
三角数と同様に四角数（しかくすう）も定義される。これは、正方形の形に点を並べたときに、そこに並ぶ点の総数のことである。これは平方数に等しい。
- n 番目の四角数は 1 から n 番目までの奇数の総和に等しい：[math]\sum_{k=1}^n (2k-1)=n^2[/math]
- 連続する2つの三角数の和は平方数（四角数）である：Tn−1 + Tn = n2
- これを、Tn−1 を灰色の点、Tn を赤色の点で表すと下図のようになる。
1 4 9 16 25 36 ● ●○
●●●○○
●●○
●●●●○○○
●●○○
●●●○
●●●●●○○○○
●●○○○
●●●○○
●●●●○
●●●●●●○○○○○
●●○○○○
●●●○○○
●●●●○○
●●●●●○
●●●●●●
- n 番目の四角数 n2 と n 番目の矩形数 n(n + 1) の和は 2n 番目の三角数 n(2n + 1) に等しい。
各種の性質
- 三角数は組合せ記号で表すことができる：Tn = n+1C2
- n（≥ 2）チームの総当たりのリーグ戦における全試合の回数は Tn−1 に等しい。
- 三角数は 3 で割り切れるか、もしくは 9 で割ると 1 余る数のどちらかである。
- 自然数の n までの立方和は Tn2 に等しい：[math]\sum_{k=1}^n k^3 =\left\{ \frac{n(n+1)}{2} \right\}^2[/math]
- 三角数の逆数和は 2 に収束する：
- [math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\frac{n(n+1)}{2}} =2 \sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} \right) =2[/math]
- 三角数の漸化式として
- Ta+b = Ta + Tb + ab や Tab = TaTb + Ta−1Tb−1 などが挙げられる。
- 回文数である三角数は 55, 66, 666 だけであると考えられている。
- あらゆる自然数は高々3つの三角数の和で表すことができる、という定理がある。これは、ガウスによって1796年（彼の日誌によれば7月10日）に証明された。この定理は全ての自然数が高々n個のn角数の和で表すことができるというフェルマーの多角数定理の中に含まれている。
- 偶数の完全数は三角数でもある。
- 平方数でもある三角数は平方三角数と呼ばれ、無数にある。1, 36, 1225, …（オンライン整数列大辞典の数列 A001110）
- フィボナッチ数である三角数は 1, 3, 21, 55, …（オンライン整数列大辞典の数列 A039595）
- 五角数である三角数は 1, 210, 40755, 7906276, …（オンライン整数列大辞典の数列 A014979）
- 楔数である三角数は 66, 78, 105, 190, 231, 406, 435, 465, 561, 595, …（オンライン整数列大辞典の数列 A128896）
- ハーシャッド数である三角数は 1, 3, 6, 10, 21, 36, 45, 120, 153, 171, 190, 210, 300, …（オンライン整数列大辞典の数列 A076713）
- 等比三項の和 r0 + r1 + r2 で表せる三角数は 3, 21, 91, 703, …（オンライン整数列大辞典の数列 A069017）（00 が定義できないので 1 は除外した。)
- 13T3n−1 は全て五角数であり、T2n−1 は全て六角数である。また六角数は全て三角数でもある。
- 中心つき多角数nは、三角数にnをかけて、1を加えた値になっている。
三角数の判定
与えられた自然数 N が三角数であるには、
- [math]n=\frac{\sqrt{8N+1}-1}{2}[/math]
が整数であることが必要十分である。もし n が整数ならば N = Tn である。n が整数でないならば N は三角数ではない。この式は n についての二次方程式 Tn = N の解である。
ゼロ以外の三角数の数字根は 1, 3, 6, 9 のいずれかである。したがって、与えられた自然数 の数字根を計算してこれらでなければ N は三角数ではない。
三角数の一般次元への拡張
点を配置する空間の次元を 3 にして、点を正四面体（三角錐）状に配置したとき、その総数を三角錐数（四面体数）という。第 n 三角錐数は、第 1 三角数から第 n 三角数までの総和であるが、その値を N とおくと [math]N=\frac{n(n+1)(n+2)}{6}[/math] と書くことができる。また、同様に三角錐数の総和として、4次元空間での「三角数」五胞体数を定義することができる。以下、一般次元の空間（ここでは r 次元）まで概念の拡張を行ったとき、第 n 番目のその数 Tr(n) は
- [math]T_r (n)=\prod^{r}_{k=1} \left( 1+\frac{n-1}{k} \right) =\frac{n(n+1)\cdots (n+r-1)}{r!} =\binom{n+r-1}{r} ={}_{n+r-1}{\rm C}_r[/math]
となる。
- モナド（単数）の数列 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, …, 1, …
- 自然数の数列 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, …, nC1, …
- 三角数の数列 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, …, nC2, …
- 三角錐数の数列 1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, …, n+2C3, …
- 五胞体数の数列 1, 5, 15, 35, 70, 126, 210, 330, 495, …, n+3C4, …
となっている。上にある数列はその1つ下の数列の階差数列である。
参考文献
- フロリアン・カジョリ 『カジョリ 初等数学史』 小倉金之助補訳、共立出版〈共立全書〉、1997年6月、復刻版。ISBN 4-320-01538-X。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Triangular Number”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。