立方数

立方数（りっぽうすう、cubic number）とは、ある数 n の三乗(立方)となる数である。例えば 125 は 5³ であるので立方数である。自然数の最小の立方数は 1 であり、小さい順に列記すると

1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197, 2744, 3375, 4096, 4913, 5832, 6859, 8000,9261,10648,12167,13824,15625 …（オンライン整数列大辞典の数列 A578）

個数が立方数である点を縦、横、高さの三方向に等間隔に並べることで正六面体（立方体）の形を作れることから、「六面数」と呼ばれることもある。例えば216個の点は縦、横、高さの一辺にそれぞれ6個ずつ並べることで正六面体の形を作ることができる。

立方数の性質

1を除く全ての立方数は、2つの平方数の差として表される。

[math]n^3={\sum_{k=1}^n k^3} - \sum_{k=1}^{n-1} k^3 = \left\{ {n(n+1) \over 2} \right\}^2 - \left\{ {n(n-1) \over 2} \right\}^2 \quad n \geqq 2[/math]

フィボナッチ数列に現れる立方数は、1 と 8 のみといわれている。

立方数を2つの立方数の和として表すことはできない。（→フェルマーの最終定理）

立方数のうち平方数でもある数は n⁶ と表せる。また、約数を7個持つ数は素数を6乗した数のみ。

立方数の和

• 1からn 番目の立方数 N = n³ までの和は、

[math]\sum_{k=1}^n k^3=1+8+27+...+N={n^2 (n+1)^2 \over 4}=\left\{ {n (n+1) \over 2} \right\}^2[/math]

となる。つまりn番目の三角数の2乗に等しい。したがって、次の等式が成り立つ。

[math]\sum_{k=1}^n k^3 = 1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3 = ( 1 + 2 + 3 + ... + n )^2[/math]

これは、1 から n 番目までの立方数の和が、1 から n までの自然数の和 (三角数) の2乗に等しいことを意味している。具体的には

1, 9, 36, 100, 225, 441, 784, 1296, 2025, 3025,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A000537)

• 立方数の逆数和は収束し、次のように表される。

[math]\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{2\pi^2}{7} \log 2 + \frac{16}{7} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \log (\sin x) dx[/math]

この値は 1.202056903159594… であり、アペリーの定数とよばれる。

• すべての自然数は、9個以下の立方数の和として表される（ウェアリングの問題）。このうち丁度9個使用するものは、23と239だけである。

• 2通りの方法で、2つの立方数の和として表される最小の自然数は、1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³ である。負の整数を含めると絶対値最小は 91 = 3³ + 4³ = 6³ + (-5)³ 、ただし 0 と 1 は除く。（参考:キャブタクシー数、タクシー数、シュリニヴァーサ・ラマヌジャン）

• 奇数の立方和は 1, 28, 153, 496, 1225, 2556, 4753, 8128, 13041, 19900, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A002593)

• 偶数の立方和は 8, 72, 288, 800, 1800, 3528, 6272, 10368, 16200, 24200,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A254371)

• 3連続整数の立方和は 9, 36, 99, 216, 405, 684, 1071, 1584, 2241, 3060, 4059, 5256, 6669, 8316, 10215,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027602)

• 4連続整数の立方和は 36, 100, 224, 432, 748, 1196, 1800, 2584, 3572, 4788, 6256, 8000, 10044,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027603)

• 5連続整数の立方和は 100, 225, 440, 775, 1260, 1925, 2800, 3915, 5300, 6985, 9000, 11375,…である。(オンライン整数列大辞典の数列 A027604)

• 3連続以上の整数の立方和で表せる立方数は 216, 8000, 33075, 64000, 89559, 105525, 164800, 188784, 189189, 216000, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A265845)
  • 上記の立方数の中で、1つの連続整数の組でしか表すことができない立方数は 216, 8000, 64000, 216000, …である。(オンライン整数列大辞典の数列 A131643)

立方数と立方和

• 6³ = 3³ + 4³ + 5³
• 9³ = 1³ + 6³ + 8³
• 20³ = 7³ + 14³ + 17³ = 11³ + 12³ + 13³ + 14³
• 66³ = 31³ + 33³ + 35³ + 37³ + 39³ + 41³

その他の関連

SI接頭辞のk、M、Gなどはそれぞれ 10³, 10⁶, 10⁹ であり、立方数である。

関連項目

• 立方根
• 図形数
• 平方数
• 三角数
• 累乗

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “CubicNumber”. MathWorld（英語）.