偶数
偶数（ぐうすう、英: even number) とは、2 を約数に持つ整数、すなわち 2 で割り切れる整数のことをいう。逆に 2 で割り切れない整数のことは、奇数という。
具体的な偶数の例として −8, 0, 2, 14, 100, 526 などが挙げられる。これらはそれぞれ (−4) × 2, 0 × 2, 1 × 2, 7 × 2, 50 × 2, 263 × 2 に等しいため、2 で割っても余りが生じず、 2 で割り切ることができる。
より派生して、2 で割り切れるが 4 では割り切れない整数を単偶数または半偶数という。これに対して、4 で割り切れる整数を複偶数 (doubly even number) または全偶数という[1]。
偶数と奇数は、偶数全体、奇数全体をそれぞれ 1 つの元と見て、2 つの元からなる有限体の例を与える。
名称の由来
偶数は英語の "even number" の訳である。"even" は「平な、均等な」という意味で、直訳すれば「平数」である。偶数の"偶"は「ペア、二個一組」（用例：配偶者）という意味で、「ペアになる数」を意味する。
ギリシャの哲学者フィロラオスは次のように言ったとされる。「数字には特別な二種類がある。奇 (odd) と偶 (even) である。そしてこれらの混合が第三の要素として even-odd を生じる 」[2]。
この「even」とは、二つに分けると均等になるになるという意味だと推測される[3]。
数学的性質
以下、m は整数、n は正の整数（自然数）であるとする。
- 素数のうち偶数であるのは 2 のみである。
- 偶数同士または奇数同士の和は偶数である。
- 偶数同士または奇数同士の差は偶数である。
- 偶数と整数の積は偶数である。
- 実数の偶数乗は正の実数である。
- 1 の 2n 乗根には、必ず 1 と −1 が含まれる。
- フィボナッチ数のうち偶数であるのは、3m 番目のフィボナッチ数のみである。フィボナッチ数とは漸化式 Fm+2 = Fm+1 + Fm, F0 = 0, F1 = 1 を満たす数 Fm のことである。
- 三角数のうち偶数であるのは、4n − 1 番目と 4n 番目の三角数のみである。三角数とは m(m + 1)2 と表すことのできる数である。
- 平方数（四角数）のうち偶数であるのは 2n 番目の平方数 (2n)2 = 4n2 のみである。
- 1組のピタゴラス数の3つの数のうち、少なくとも1つは偶数である。ピタゴラス数とは a2 + b2 = c2 を満たす整数の組 (a, b, c) のことである。
- 一般に、ある整数を 2n 進法で表した場合、その数が偶数であることを判別するには一の位の数が偶数かどうかを調べるだけで十分である。例えば、10進法では 0, 2, 4, 6, 8、2進法では 0、16進法では 0, 2, 4, 6, 8, A, C, E が一の位のとき、その数は偶数である。
未解決問題
偶数に関する未解決問題としてゴールドバッハの予想がある。ゴールドバッハの予想とは次の命題をいう。
- 4 以上のすべての偶数は、2 つの素数の和の形に表せる。
ごく小さい数について実際に素数の和に書き直すことは容易であり、
- 4 = 2 + 2, 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 3 + 11 = 7 + 7, 16 = 3 + 13 = 5 + 11, ...
などのように書くことができる。しかしすべての偶数について 2 つの素数の和で表すことができることを示すには、具体的な数について調べるだけでは不十分である。
現在発見されている完全数はすべて偶数である。奇数の完全数があるかどうかは知られていない。
その他偶数に関係する事柄
- オリンピックは、夏季、冬季ともに西暦年数が偶数の年に開催される。夏季オリンピックが西暦が4の倍数になる年、冬季オリンピックがその間の偶数年（単偶数年）に行われる。
- FIFAワールドカップは、西暦年数が偶数であり4で割り切れない数（単偶数）の年に開催される。これは、上記冬季オリンピックと同じ年であることを意味する。
- アメリカ大統領選挙が行われるのは、西暦が4の倍数の年なので、偶数の年である。
- 日本では偶数は割り切れる数なので縁起が悪い数とされることが多く、特に数字の4は「死」を連想させるため忌み嫌われる傾向が強い。ホテルの部屋番号などでは4のつく番号はつけずその数字がとばされる場合もある。ただし8は、漢数字にすると“八”で末広がりなので縁起がよいと考えられることが多い。
- アイザック・アシモフのSF小説『ファウンデーションへの序曲』の劇中の会話にて、絶対不可能である事の喩えとして「足すと奇数になる2つの偶数の組を見つける事は出来ない」という表現が登場している。
- 鉄道で上りの列車番号は、一般に偶数が用いられる。
- 航空機の便名においては国際線では基本的に東行きや北行きのフライトに偶数が割り当てられる。一方、国内線では例えば羽田発着を基準に考えた場合は羽田着便を上り便として偶数が割り当てられる。