ゴールドバッハの予想

提供: miniwiki
2017/12/30/ (土) 11:49時点におけるja>Gtorewによる版 (加筆)
(差分) ← 古い版 | 最新版 (差分) | 新しい版 → (差分)
移動先:案内、検索


ファイル:Goldbach partitions of the even integers from 4 to 50 rev4b.svg
4 から 28 までの偶数を 2つの素数の和としてあらわした。ゴールドバッハは全ての 2よりも大きい偶数が少なくとも一通りで 2つの素数の和として表すことができることを予想した。
ファイル:GoldbachConjecture.gif
偶数を二つの素数で表す方法が何通りあるか表したグラフ。

ゴールドバッハの予想（英語:Goldbach's conjecture）とは、次のような加法的整数論上の未解決問題の1つである。ゴールドバッハ予想、ゴルドバッハの予想とも[1]。

全ての 2 よりも大きな偶数は2つの素数の和として表すことができる[2]。

この予想は、ウェアリングの問題などと共に古くから知られている。4 × 1018 まで成立することが証明[3]されていて、一般に正しいと想定されているが、多くの努力にもかかわらず未だに証明されていない。

概要

ファイル:Letter Goldbach-Euler.jpg
1742年6月7日の日付のゴルドバッハからオイラーに宛てた（ラテン語とドイツ語で書かれた）手紙[4]

予想には、ほとんど同値ないくつかの述べ方があり、次のように述べることが多い：

4以上の全ての偶数は、二つの素数の和で表すことができる。
6以上の全ての偶数は、二つの奇素数の和で表すことができる。（4=2+2:偶素数同士の和）

このとき、同じ素数を2度使っても良いものとする。

例えば、20までの偶数を奇素数の和で表す場合は、 

 6 = 3 + 3
 8 = 3 + 5
10 = 7 + 3 = 5 + 5
12 = 5 + 7
14 = 3 + 11 = 7 + 7
16 = 3 + 13 = 5 + 11
18 = 5 + 13 = 7 + 11
20 = 3 + 17 = 7 + 13

のように、二つの奇素数の和で表すことができている。2012年現在、4×1018までの全ての偶数について成り立つことが、コンピュータによって確かめられている。[5]

ゴールドバッハの名を冠するのは、上と同値な次のような予想を、クリスティアン・ゴールドバッハ（Christian Goldbach, 1690年 - 1764年）がレオンハルト・オイラーへの書簡（1742年）で述べたことによる[6]。

5より大きな任意の自然数は、三つの素数の和で表せる。

これから上が導けるのは、偶数を三つの素数の和で表すと素数の一つは 2 になっているからである（奇数+奇数+奇数=奇数になる。和が偶数になるには、奇数+奇数+偶数か、偶数+偶数+偶数しかない）。

多くの数学者は、素数分布の確率に関する統計学的な観察から、この予想は正しいと考えている（偶数が大きければ大きいほど、二つの素数の和で表されるというのはより"ありそうな"ことなのである）。

類似の予想として、「弱いゴールドバッハ予想」というものがある。これは5より大きい奇数は三つの素数の和で表せるという予想である。4より大きい偶数が二つの奇素数の和で表せるという「強いゴールドバッハ予想」が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想も真である。これは

[math]2n = p_1+p_2 \quad n\gt 2[/math]

ならば

[math]2(n+1)+1 = p_1+p_2+3 \quad n\gt 2 \,[/math]

であることから明らかである。ここでp1およびp2は奇素数である。

また、一般化されたリーマン予想が正しいならば、弱いゴールドバッハ予想が導かれることが知られている[7]。

現在までの主な進歩

  • ノルウェーの数学者ブルンは1920年頃（いくつかの論文に分かれているため曖昧）、エラトステネスの篩を発展させた新しい篩法（sieve method）を用いて、十分大きなすべての偶数は、高々9つの素数の積であるような数の二つの和であることを証明した。
  • ハーディとリトルウッドは1923年に、L関数に対する一般化されたリーマン予想（の若干弱い形を）を仮定して、全ての奇数 n ≧ n0 が3個の素数の和となるような下限 n0 が存在することを証明し、またその表現の個数の漸近公式を得た。また同様の仮定のもとにほとんどすべての偶数が二つの奇素数で表されること、すなわち例外的な数全体は零集合であることを証明。しかし偶数を二つの奇素数で表す仕方の数の漸近公式については予想するにとどまった。
  • 1930年にソビエトの数学者シュニレルマンは、2個の素数の和で表される数と0, 1からなる集合は正のシュニレルマン密度を持つことをブルンの篩を用いて初等的に示し、シュニレルマンの定理から、すべての自然数が高々 k 個の素数の和であるような、k が存在することを示した。
  • 1937年にソビエトの数学者ヴィノグラードフ（English版）は三素数の問題に関して、三角和の方法を用いて、一般化されたリーマン予想を仮定することなしに、上記のような定数 n0 （現在、具体的にわかっている。[math]n_0=3^{3^{15}}[/math]（Borozdin,1939）さらに良い評価として[math]n_0\approx 2 \times 10^{1346}[/math]（Liu Ming-Chit and Wang Tian-Ze,2002））の存在を証明した。（ヴィノグラードフの定理参照）
  • 1938年頃、イギリスのエスターマン、ソビエトの数学者チュダコフ、オランダの数学者ヴァン・デア・コルプトらは、それぞれ独立に、なんらの仮定もせずにほとんどすべての偶数は二つの奇素数の和であることを証明した。
  • 1947年、ハンガリーの数学者レーニは大きな篩い（English版）という新しい方法を用いて、すべての自然数を、素数と高々 k 個の素数の積である数との和で表すことのできるような、k が存在することを証明した。
  • 中国の数学者陳景潤は1978年までに、十分大きなすべての偶数は、素数と高々二つの素数の積であるような数との和で表されることを証明した。下界が山田智宏により与えられている。[8]
  • 1995年、フランスの数学者ラマレはすべての偶数が高々6個の素数の和として表せることを証明した。
  • 2002年、ヒース＝ブラウン（English版）とシュラーゲ＝プフタは十分大きなすべての偶数は2個の素数と13個の2の冪の和で表され、一般化されたリーマン予想が正しいならば、十分大きなすべての偶数は2個の素数と7個の2の冪の和で表されることを示した。
  • 2009年、ゴールドバッハの予想に関する分散コンピューティングプロジェクト(BOINC)でGoldbach's Conjecture Projectが開始された。

発見的方法による評価

ファイル:Goldbach-1000.svg
4 ≤ n ≤ 1,000 である偶数 n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数, オンライン整数列大辞典の数列 [https://oeis.org/A002375 A002375

]

ファイル:Goldbach-1000000.png
4 ≤ n ≤ 1,000,000 である偶数の n に対し、2つの素数の和で表される表し方の数

素数の確率分布に焦点を当てた統計的な考察は、十分に大きな整数に対して（弱い形も強い形も両方とも）この予想を支持する非公式な情報をもたらしている。整数が大きくなればなるほど、2つ 3つの他の数の和で表すことが可能な組み合わせの数が多くなり、これらの表現が素数だけで和を表すことすくなくとも一つはより「ありそう」になっている。

発見的（English版）(heuristic)な確率的な議論（ゴルドバッハ予想の強い形にたいする）の非常に厳密なバージョンは、次のようになっている。素数定理は、ランダムに選ばれた整数 m は、大まかには [math]1/\ln m\,\![/math] の確率で素数になる機会を持っている。従って n が大きな偶数であり m が 3 と n/2 の間の整数であれば、m と n − m が同時に素数である確率は、[math]1 \big / \big [\ln m \,\ln (n-m)\big ][/math] である。この発見的方法をつづけると、大きな偶数の n を大まかに次の確率で 2つの素数の和として表すことができる方法の全体の数を見積もることができる。

[math]\sum_{m=3}^{n/2} \frac{1}{\ln m} {1 \over \ln (n-m)} \approx \frac{n}{2 \ln^2 n}.[/math]

この量は n が増えるにつれて無限大に近づくので、大きな偶数を取ると 2つの素数の和として表すのでなく、実際は非常多くのそのような方法で表すことができることと見積もることができる。

この発見的な議論は実際は少し不正確である。理由は、m と n − m が素数であるという事象が、互いに統計的に独立であることを前提としているからである。例えば、m が奇数であれば、n − m もまた奇数であり、m が偶数であれば n − m もまた偶数であるから、（2を除き）奇数だけが素数でありうるから非自明な関係となるからである。同様にして、n が 3 で割り切れ m が既に 3 とはことなる素数であれば、n − m は 3 とは互に素であることとなり、このように一般の数よりも素数となる確率は少し小さくなる。このタイプの解析を注意深く行い、ハーディとリトルウッドは、1923年に（彼らの有名なハーディ・リトルウッドの素数三重予想の一部として）任意の固定された c ≥ 2 に対し、大きな n が [math]p_1 \leq \cdots \leq p_c[/math] である c 個の素数の和 [math]n=p_1+\cdots +p_c[/math] と表される表し方の数は、漸近的に（English版）に次に等しいであろうと予想した。

[math] \left(\prod_p \frac{p \gamma_{c,p}(n)}{(p-1)^c}\right) \int_{2 \leq x_1 \leq \cdots \leq x_c: x_1+\cdots+x_c = n} \frac{dx_1 \cdots dx_{c-1}}{\ln x_1 \cdots \ln x_c}[/math]

ここに、積は全ての素数 p を渡り、[math]\gamma_{c,p}(n)[/math] は合同式の方程式 [math]n = q_1 + \cdots + q_c \mod p[/math] の解の数である。ここで、[math]q_1,\ldots,q_c \neq 0 \mod p[/math] は拘束条件（English版）(constraint)である。この公式は、ヴィノグラードフ（English版）の仕事から、c ≥ 3 に対して漸近的に成り立つことが厳密に証明された。しかし、[math]c=2[/math] のときは依然として予想にすぎない。[math]c=2[/math] には、上の公式は n が奇数のときは 0 に単純化され、n 偶数のときは、

[math] 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \int_2^n \frac{dx}{\ln^2 x} \approx 2 \Pi_2 \left(\prod_{p|n; p \geq 3} \frac{p-1}{p-2}\right) \frac{n}{\ln^2 n} [/math]

となる。ここに [math]\Pi_2[/math] は双子素数定数（English版）(twin prime constant)であり、

[math] \Pi_2 := \prod_{p \geq 3} \left(1 - \frac{1}{(p-1)^2}\right) = 0.6601618158\ldots[/math]

と表される。この公式は拡張されたゴルドバッハ予想として知られている。強いゴルドバッハ予想は、実際、双子素数予想と非常に似ていて、2つの予想は大まかには同じくらいの難易度であろうと信じられている。2013年、プロヴァティディス他は、「親指の法則」という表現の数の下界についてレポートした。[9]

ここに示されたゴルドバッハの分配函数は、上の方程式を見やすく表現したヒストグラムにして示すことができる。ゴルドバッハの彗星（English版）(Goldbach's comet)を参照。[10]

厳密な結果

強いゴールドバッハ予想は、より非常に難しい。ヴィノグラードフ（English版）(Vinogradov)の方法を使い、チュダコフ（English版）(Chudakov)[11] や、ヴァン・デル・コルプト（English版）(Van der Corput)[12] や エスターマン（English版）(Estermann)[13] は、ほとんど全ての偶数が 2つの素数の和として表すことができることを示した（この意味は、そのように書くことのできる偶数の確率が 1 に近づく傾向にあるという意味である)。1930年、レフ・シュニレルマン（English版）(Lev Schnirelmann)は[14][15]で、任意の 1 より大きな自然数は C 個よりも多くない素数の和として書き表すことができることを証明した。ここに C は有効に計算可能な定数である。シュニレルマン密度を参照。シュニレルマンの定数(Schnirelmann's constant)は、この性質を持つ最も小さな数であり、シュニレルマン自身は C < 800000 を得た。この結果は多くの人々により拡張されている。現在、最も良い結果として知られているものは、オリバー・ラマレ（English版）(Olivier Ramaré)によるもので、1995年に全ての偶数 n  ≥ 4 は実際、多くとも 6つの素数の和であることが知られている。事実、弱いゴルドバッハ予想の解法は、直接、全ての偶数 n  ≥ 4 が多くとも 4つの素数の和であることを意味する。[16]

陳景潤(Chen Jingrun)は、1973年に篩法を使い、全ての十分に大きな偶数は 2つの素数の和として書き表されるか、もしくは一つの素数と半素数（2つの素数の積）の和として書き表すことができることを示した。[17]例を上げると、100 = 23 + 7·11　チェンの定理（English版）を参照。

1975年、ヒュー・モンゴメリ（English版）(Hugh Montgomery)とロバート・チャールズ・ヴォーン（English版）(Robert Charles Vaughan)は、「ほとんど」全ての偶数は 2つの素数の和として表すことができることを示した。詳しくは、正の数 c と C が存在して、全ての十分に大きな数 N に対して、N よりも小さな数は 2つの素数の和であることを、彼らは示した。この例外は、多くとも [math]C N^{1-c}[/math] である。特に、2つの素数の和であらわされない偶数の集合は自然密度（English版）(natural density)ゼロである。

ユーリ・リニック（English版）(Yuri Linnik)は、1951年、全ての十分に大きな偶数が 2つの素数と 2 の 高々 K 乗との和として表せるような K が存在することを証明した。ロジャー・ヒースブラウン（English版）(Roger Heath-Brown)とジャン・クリストフ・シュラージ・プクタ（English版）(Jan-Christoph Schlage-Puchta)は、2002年に、K = 13 であることを発見した。[18] これは、2003年にヤノス・ピンツ（English版）(János Pintz)とイムル・ルッツァ（English版）(Imre Z. Ruzsa)により K=8 と改善された。[19]

数学の多くの有名な予想と同じように、ゴールドバッハ予想を解いたと主張する多くの「証明」があるが、数学の学会では受け入れられていない。

弱いゴールドバッハ予想について考慮すべき仕事として、2013年にハラルド・ヘルフゴット(Harald Helfgott)により提出されている論文がある[20][21][22][23]。この論文は、全ての 7 より大きな奇素数に対して予想を完全に証明したとする論文である（前の結果は [math]e^{3100}\approx 2 \times 10^{1346}[/math] よりも大きな数に対しては証明されたとしていたものである）。

類似した問題

素数を、例えば平方数のような他の特別な数の集合に置き換えると、同じような問題を考えることができる。

脚注

  1. ↑ “デジタル大辞泉 ゴールドバッハの予想”. コトバンク. . 2017閲覧.
  2. ↑ Weisstein, Eric W. “Goldbach Number”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
  3. ↑ “Goldbach conjecture verification"
  4. ↑ Correspondance mathématique et physique de quelques célèbres géomètres du XVIIIème siècle (Band 1), St.-Pétersbourg 1843, S. 125–129
  5. ↑ Tomás Oliveira e Silva, Goldbach conjecture verification
  6. ↑ Goldbach, Christian (7 June 1742), letter to Leonhard Euler (letter XLIII), http://www.math.dartmouth.edu/~euler/correspondence/letters/OO0765.pdf 
  7. ↑ Deshouillers, J.-M.; Effinger, G.; te Riele, H. & Zinoviev, D. (1997), “A complete Vinogradov 3-primes theorem under the Riemann hypothesis”, Electron. Res. Announc. Amer. Math. Soc. 3: 99–104, doi:10.1090/S1079-6762-97-00031-0, http://www.ams.org/era/1997-03-15/S1079-6762-97-00031-0/S1079-6762-97-00031-0.pdf 
  8. ↑ Yamada, Tomohiro (2015年11月11日). “Explicit Chen's theorem”. arXiv:1511.03409 [math.NT]. 
  9. ↑ Provatidis C., Markakis E, and Markakis N. Rule of thumb bounds in Goldbach’s Conjecture, American Journal of Mathematical Analysis, 2013 1 (1), pp. 8-13. doi: 10.12691/ajma-1-1-1; DOWNLOAD: http://www.sciepub.com/portal/downloads?doi=10.12691/ajma-1-1-2&filename=ajma-1-1-2.pdf.
  10. ↑ Fliegel, Henry F.; Robertson, Douglas S.; "Goldbach's Comet: the numbers related to Goldbach's Conjecture”; Journal of Recreational Mathematics, v21(1) 1–7, 1989.
  11. ↑ Chudakov, Nikolai G. (1937). “О проблеме Гольдбаха [On the Goldbach problem]”. Doklady Akademii Nauk SSSR 17: 335–338. 
  12. ↑ Van der Corput, J. G. (1938). “Sur l'hypothèse de Goldbach”. Proc. Akad. Wet. Amsterdam 41: 76–80. 
  13. ↑ Estermann, T. (1938). “On G 1 oldbach's problem: proof that almost all even positive integers are sums of two primes”. Proc. London Math. Soc.. 2 44: 307–314. doi:10.1112/plms/s2-44.4.307. 
  14. ↑ Schnirelmann, L.G. (1930). "On the additive properties of numbers", first published in "Proceedings of the Don Polytechnic Institute in Novocherkassk" (in Russian), vol XIV (1930), pp. 3-27, and reprinted in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1939, no. 6, 9–25.
  15. ↑ Schnirelmann, L.G. (1933). First published as "Über additive Eigenschaften von Zahlen" in "Mathematische Annalen" (in German), vol 107 (1933), 649-690, and reprinted as "On the additive properties of numbers" in "Uspekhi Matematicheskikh Nauk" (in Russian), 1940, no. 7, 7–46.
  16. ↑ Sinisalo, Matti K. (Oct., 1993). “Checking the Goldbach Conjecture up to 4 1011”. Mathematics of Computation 61 (204): 931–934. doi:10.2307/2153264. 
  17. ↑ Chen, J. R. (1973). “On the representation of a larger even integer as the sum of a prime and the product of at most two primes”. Sci. Sinica 16: 157–176. 
  18. ↑ Heath-Brown, D. R.; Puchta, J. C. (2002). “Integers represented as a sum of primes and powers of two”. Asian Journal of Mathematics 6 (3): 535–565. arXiv:math.NT/0201299. 
  19. ↑ Pintz, J.; Ruzsa, I. Z. (2003). “On Linnik's approximation to Goldbach's problem, I”. Acta Arithmetica 109 (2): 169–194. doi:10.4064/aa109-2-6. 
  20. ↑ Helfgott, H.A. (2013年). “Major arcs for Goldbach's theorem”. arXiv:1305.2897 [math.NT]. 
  21. ↑ Helfgott, H.A. (2012年). “Minor arcs for Goldbach's problem”. arXiv:1205.5252/ [math.NT]. 
  22. ↑ http://www.truthiscool.com/prime-numbers-the-271-year-old-puzzle-resolved
  23. ↑ Proof that an infinite number of primes are paired - physics-math - 14 May 2013. New Scientist. Retrieved on 2014-05-11.
  24. ↑ ある正の数 n について、1 以上 n 未満の数のいずれもが n の異なる約数の和で表されるとき、その n をプラクティカル数という。例えば、12 の約数は、1, 2, 3, 4, 6 であり、11 以下の正の整数は、5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1, 11=6+3+2 で表されるので、12 はプラクティカル数である。プラクティカル数の列は、
    1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
    となる。
  25. ↑ Margenstern, M. (1984). “Results and conjectures about practical numbers”. Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences Paris 299: 895–898. 

関連項目

参考文献

外部リンク



「http:///http:///mymemo.xyz/mymemo.xyz/wiki/index.php?title=ゴールドバッハの予想&oldid=116245」から取得