ヴィノグラードフの定理

ヴィノグラードフの定理（英: Vinogradov's theorem）とは、「十分大きな任意の奇数が3つの素数の和として表すことができる」ことを含意する加法的整数論における結果である。これは「5より大きな任意の奇数が3つの素数の和として表すことができる」という弱いゴルドバッハ予想の弱い形である。定理の名前は、1930年代にこれを証明したイヴァン・ヴィノグラードフ(Ivan Matveyevich Vinogradov)にちなんでいる。ヴィノグラードフの定理の完全な主張は、奇数の3つの素数の和による表し方の数の漸近境界(asymptotic bounds)を与える。

定理の主張

A を正の実数とすると、

[math]r(N)={1\over 2}G(N)N^2+O\left(N^2\log^{-A}N\right),[/math]

が成り立つ。ここで、[math]\Lambda[/math] をフォン・マンゴルトの函数(von Mangoldt function)としたとき

[math]r(N)=\sum_{k_1+k_2+k_3=N}\Lambda(k_1)\Lambda(k_2)\Lambda(k_3)[/math]

であり、

[math]G(N)=\left(\prod_{p\mid N}\left(1-{1\over{\left(p-1\right)}^2}\right)\right)\left(\prod_{p\nmid N}\left(1+{1\over{\left(p-1\right)}^3}\right)\right)[/math]

である。

帰結

N が奇数であれば、G(N) はおよそ 1 であり、したがって十分大きな N に対して [math]N^2 \ll r(N)[/math] である。ある特定の素数による r(N) への寄与は [math]O\left(N^{3\over 2}\log^2N\right)[/math] であることを示すことにより、

[math]N^2\log^{-3}N\ll[/math]（ N の3つの素数の和による表し方の数）

であることが分かる。特にこのことは十分大きな任意の奇数は3つの素数の和により表されることを意味していて、有限個の場合を除いて弱いゴルドバッハ予想が成立することを意味している。

証明の戦略

定理の証明は、ハーディ-リトルウッドの円周法(Hardy–Littlewood circle method)を使う。指数和を

[math]S(\alpha)=\sum_{n=1}^N\Lambda(n)e(\alpha n)[/math]

とすると、

[math]S(\alpha)^3 = \sum_{n_1, n_2, n_3\leq N}\Lambda(n_1)\Lambda(n_2)\Lambda(n_3)e(\alpha(n_1+n_2+n_3)) = \sum_{n\leq 3N} \tilde{r}(n)e(\alpha n)[/math]

を得る。ここに [math]\tilde{r}[/math] は [math]\leq N[/math] である素数のべきに限定した表現の数を表す。すると、

[math] r(N) = \int_0^1 S(\alpha)^3 e(-\alpha N)\;d\alpha[/math]

となる。[math]\alpha[/math] が有理数 [math]\tfrac{p}{q}[/math] であれば、[math]S(\alpha)[/math] は [math]q[/math] を modulo とした剰余類の中の素数の分布によって与えられる。従って、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(Siegel-Walfisz theorem)を使うと、小さな分母を持つ有理数の小さな近傍で、上記の整数の分布を計算することができる。そのような有理数に近い実数の集合は、通常、優弧(major arcs)と呼ばれるある区間を形成し、その補集合は劣弧(minor arcs)と呼ばれます。優弧と呼ばれる区間は整数を支配することがわかるので、定理を証明するためには、劣弧に含まれる [math]\alpha[/math] に対する [math]S(\alpha)[/math] の上限を求める必要があります。この見積もりが証明の最も難しいところです。

一般化されたリーマン予想を前提とすると、優弧で使った議論が劣弧へも拡張することができる。これは1923年にハーディとリトルウッドによってなされた。1937年、ヴィノグラードフは、[math]|S(\alpha)|[/math] の今までには発見されていない上限を与えました。彼の議論は単純な篩の方法から始まり、結果となる項は、あるキャンセルを働かせた複雑な方法で整理されて得られる。1977年、ボブ・ヴォーン(R. C. Vaughan)は、後日、ヴォーンの恒等式(Vaughan's identity)として知られるようになった恒等式に基づく、非常に簡素化された議論を発見した。彼は、[math]\left|\alpha-\frac{a}{q}\right|\lt \frac{1}{q^2}[/math] であれば、

[math] |S(\alpha)|\ll \left(\frac{N}{\sqrt{q}} + N^{4/5}+\sqrt{Nq}\right)\log^4 N[/math]

となることを証明した。ジーゲル・ウォルフィッツの定理を使って、[math]q[/math] を [math]\log N[/math] の任意のべきを除外して扱うこともでき、ディリクレの近似定理を使って、劣弧の上の [math]|S(\alpha)|\ll\frac{N}{\log^A N}[/math] を得ることができる。従って、劣弧の区間の境界は、

[math]\frac{CN}{\log^A N}\int_0^1|S(\alpha)|^2\;d\alpha \ll \frac{N^2}{\log^{A-1} N}[/math],

により制限され、これが定理のエラー項（補助項）を与える。

参考文献

• I.M. Vinogradov (1954). The Method of Trigonometrical Sums in the Theory of Numbers, Translated by Anne Davenport, K.F. Roth, New York: Interscience. 
• Melvyn B. Nathanson (1996). Additive Number Theory: the Classical Bases, Graduate Texts in Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94656-X.  Chapter 8.

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Vinogradov's Theorem”. MathWorld（英語）.