一般化されたリーマン予想
数学では、リーマン予想は最も重要な予想の一つである。リーマン予想は、リーマンゼータ函数のゼロ点に関する予想である。様々な幾何学的、数論的対象がいわゆる大域的L-函数により記述することができる。大域的L-函数は形式的にはリーマンゼータ函数と似ているので、これらのL-函数のゼロ点に対しての同じ問いを投げかけると、リーマン予想の様々な一般化が得られる。多くの数学者はこれらの一般化されたリーマン予想が正しいと信じている。（数体の場合ではなく）函数体の場合のみが、すでにこれらの予想が証明されている。
大域的L-函数は、楕円曲線や数体（この場合は、デデキントゼータ函数と呼ばれる）、マース形式やディリクレ指標（この場合はディリクレのL-函数と呼ばれる）に付随している。リーマン予想がデデキントのゼータ函数に対して定式化されているとき、拡張されたリーマン予想(EGH)(extended Riemann hypothesis)として知られていて、ディリクレのL-函数に対して定式化されているときに、一般化されたリーマン予想(GRH)(generalized Riemann hypothesis)として知られている。これらの 2つの予想は以下にさらに詳しく議論する。（多くの数学者は、一般化されたリーマン予想という名称を、ただ単にディリクレのL-函数という特殊な場合だけではなく、全ての大域的なL-函数へリーマン予想を拡張したものとして使う。）
一般化されたリーマン予想(GRH)
（ディリクレのL-函数に対する）一般化されたリーマン予想は、アドルフ・ピルツ(Adolf Piltz)により1884年に最初に定式化された[1]。元のリーマン予想のように、素数の分布について深い内容を持っている。
予想の公式の定式化は次のようになる。ディリクレ指標とは、完全乗法的(completely multiplicative)な数論的函数 χ であり、ある正の整数 k が存在し、全ての n に対し χ(n + k) = χ(n) であり、gcd(n, k) > 1 のときはいつも χ(n) = 0 であるような χ のことをいう。そのような指標が与えられると、対応するディリクレのL-函数(Dirichlet L-function)を次のように定義することができる。全ての実部が 1 より大きな複素数 s に対し、解析接続により、函数
- [math] L(\chi,s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\chi(n)}{n^s} [/math]
は、全複素平面で定義された有理型函数へ拡張することができる。一般化されたリーマン予想は、全てのディリクレ指標 χ と L(χ,s) = 0 である s に対し、s の実部が 0 と 1 の間にあれば、s の実部は 1/2 となるであろうという予想である。
全ての n に対し χ(n) = 1 の場合がリーマンの予想である。
GRHの結果
ディリクレの算術級数定理は、a と d が互いに素な自然数であれば、等差数列 a, a+d, a+2d, a+3d, … は無限個の素数を含んでいることを言っている。π(x,a,d) でこの数列に含まれる x に等しいか小さい素数の数を表すことにする。一般化されたリーマン予想がただしいとすると、全ての互いに素な a と d と任意の ε > 0 に対し、
- [math]\pi(x,a,d) = \frac{1}{\varphi(d)} \int_2^x \frac{1}{\ln t}\,dt + O(x^{1/2+\epsilon})\quad\mbox{ as } \ x\to\infty[/math]
である。ここに φ(d) をオイラーのトーシェント函数とし、[math]O[/math] をランダウの記号とする。この定理は素数定理の重要な拡張である。
GRHが正しいとすると、3(ln n)2 よりも小さな n と互いに素な数と同じく、任意の乗法的群 [math](\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times[/math] の固有な部分群は 2(ln n)2 よりも小さい数を削除することができる[2]。言い換えると、[math](\mathbb Z/n\mathbb Z)^\times[/math] は、2(ln n)2 よりも小さな数の集合により生成される。（GRHを前提とすると）このことは（他の）証明によく使われ、多くの結果がある。例えば
- ミラー-ラビン素数判定法において、素数判定時間の多項式時間での判定を保証する。（GRHを前提としない多項式時間での素数判定は、AKS素数判定法で、2002年に論文が出版された。）
- シャンクス・トネリのアルゴリズム(Shanks–Tonelli algorithm)は多項式時間での素数判定時間を保証する。
GRHが正しいとすると、全ての素数 p に対し [math]O((\ln p)^6)[/math] よりも小さいp を modulo とする原始根（p をmoduloとする正数の乗法群の生成子）が存在する[3]。
弱いゴルドバッハ予想も一般化されたリーマン予想から導出できる。この予想のハラルド・ヘルフゴット(Harald Helfgott)による現在検証中の証明は、1029 より大きな全て整数に対して予想が正しいことを示すための十分な境界をえる目的で、ある虚部を無視して(upto)幾千の小さな指標に対するGRHを吟味している。（これ以下の整数は「力尽く」で既に評価されている。）[4]
GRHが正しいとすると、ポリヤ・ヴィノグラードフの不等式(Pólya–Vinogradov inequality)の中の指標の和の見積もりは、q を指標のmodulusとすると [math]O\left(\sqrt{q}\log\log q\right)[/math] まで改善できる。
拡張されたリーマン予想 (ERH)
K を代数体（有理数体 Q の有限次元拡大体）で、整数環 OK （この環は整数環 Z の K における整閉包である）を持っているとする。a をゼロ以外の OK のイデアルとして、そのノルムを Na により表すとする。K のデデキントゼータ函数は、実部 > 1 である全ての複素数 s に対して次のように定義される。
- [math] \zeta_K(s) = \sum_a \frac{1}{(Na)^s} [/math]
ここの和は、OK のゼロでないイデアル a の全てを渡るものとする。
デデキントのゼータ函数は函数等式を満たし、全複素平面へ解析接続することができる。結果として得られる函数は、数体 K の重要な情報をエンコードしている。拡張されたリーマン予想は、全ての数体 K と ζK(s) = 0 である全ての複素数 s に対して、s の実部が 0 と 1 の間にあるならば、実際は 1/2 であろうという予想である。
通常のリーマン予想は、整数環 Z をもつ数体を Q をとると、この拡張した予想から得られる。
一般化されたリーマン予想は、チェボタレフの密度定理(Chebotarev density theorem)の有効バージョンの意味を持っている。L/K をガロア群 G を持つ有限次ガロア拡大とし、C を G の共役類の合併とすると、C のフロベニウス共役類と x 以下のノルムの K の不分岐素数の数は、
- [math]\frac{|C|}{|G|}\Bigl(\mathrm{li}(x)+O\bigl(\sqrt x(n\log x+\log|\Delta|)\bigr)\Bigr),[/math]
であり、ここにランダウの記号の中の定数は絶対値を取り、n は L の Q 上の次数、Δ はその判別式である。
関連項目
- アルティン予想(Artin's conjecture)
- ディリクレのL-函数(Dirichlet L-function)
- セルバーグクラス(Selberg class)
- 大リーマン予想(Grand Riemann hypothesis)
脚注
- ↑ Davenport, p. 124.
- ↑ Bach, Eric (1990). “Explicit bounds for primality testing and related problems”. Mathematics of Computation 55 (191): 355–380. JSTOR 2008811.
- ↑ Shoup, Victor (1992). “Searching for primitive roots in finite fields”. Mathematics of Computation 58 (197): 369–380. JSTOR 2153041.
- ↑ p5. Helfgott, Harald. “Major arcs for Goldbach's theorem”. arXiv. . 2013閲覧.
参考文献
- Davenport, Harold. Multiplicative number theory. Third edition. Revised and with a preface by Hugh L. Montgomery. Graduate Texts in Mathematics, 74. Springer-Verlag, New York, 2000. xiv+177 pp. ISBN 0-387-95097-4.
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