公式

数学において公式（こうしき）とは、数式で表される定理のことである。転じて比喩的に「問題を簡単に解決することができる魔法のようなもの」というような意味で用いられることがある。同様な意味で「方程式」という言葉が用いられることも多い。

例

数学

• 展開・因数分解公式:

  (a + b)² = a² + 2ab + b²

  (a + b)(a − b) = a² − b²

  aⁿ − 1 = (a − 1)(aⁿ⁻¹ + aⁿ⁻² + … + a + 1)

  [math](a+b)^n =\sum_{k=0}^n {n \choose k} a^{n-k} b^k (=\sum_{k=0}^n {}_n \text{C}_k a^{n-k} b^k )[/math]

• 二次方程式 ax² + bx + c = 0 の根の公式:

  [math]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.[/math]

• ピタゴラスの定理:

  c² = a² + b²

  a, b, c は直角三角形の三辺の長さ。ただし c を斜辺とする。

  この定理から三角関数における次の等式も導かれる。

  cos² θ + sin² θ = 1

• ヘロンの公式

  [math]S = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/math]

  a, b, c は三角形の三辺の長さ。この三角形の面積を S とする。

  ここで、s は半周長で、次式で定義される。

  [math]s = \frac{a+b+c}{2}[/math]

• 複素解析におけるオイラーの公式: e^iθ = cos θ + i sin θ
• スターリングの公式

  [math]n! \sim \sqrt{2 \pi n} \left({n \over e}\right)^n.[/math]

  ただし、n は自然数で、n! は n の階乗を表す。

• 三角関数の加法定理（加法公式）

  [math]\sin(\alpha+\beta)=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta[/math]

  [math]\sin(\alpha-\beta)=\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta[/math]

  [math]\cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta[/math]

  [math]\cos(\alpha-\beta)=\cos\alpha\cos\beta+\sin\alpha\sin\beta[/math]

  [math]\tan(\alpha+\beta)=\frac{\tan\alpha+\tan\beta}{1-\tan\alpha\tan\beta}[/math]

  [math]\tan(\alpha-\beta)=\frac{\tan\alpha-\tan\beta}{1+\tan\alpha\tan\beta}[/math]

• 余弦定理

  △ABC で a = BC, b = CA, c = AB, α = ∠CAB, β = ∠ABC, γ = ∠BCA とするとき、

  a² = b² + c² − 2bc cos α

  b² = c² + a² − 2ca cos β

  c² = a² + b² − 2ab cos γ

• ベクトル解析におけるストークスの定理

  [math]\iint_S \mathrm{rot} \, \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{n}dS=\oint_{\partial S}\boldsymbol{A}\cdot d\boldsymbol{s}[/math]

物理学

物理法則を表した基礎方程式が広く知られる。

• ニュートンの運動方程式

  [math]m\frac{d^2 \boldsymbol{r}}{dt^2}=\boldsymbol{F}[/math]

• マクスウェルの方程式

  ガウスの法則 [math]\mathrm{div} \, \boldsymbol{D} =\rho[/math]

  ガウスの法則 [math]\mathrm{div} \, \boldsymbol{B} =0[/math]

  ファラデーの法則 [math]\mathrm{rot} \, \boldsymbol{E}=-\frac{\partial\boldsymbol{B}}{\partial t}[/math]

  アンペールの法則 [math]\mathrm{rot} \, \boldsymbol{H}=j+\frac{\partial\boldsymbol{D}}{\partial t}[/math]

道具としての公式

公式は定理であるから、一度その式が成り立つことを（場合によっては変数に制限を加えて）証明すれば、次に同じ問題に遭遇したときには式に現れる変数に、その状況に応じた値を代入するだけで答えが求まるため、計算や考察の手間を省くことができる。

しかし、公式を適用できる場面でなければ公式は使用できず、公式が適用可能かどうかはその公式の証明の内容が握っている。

暗記学習

初等教育においては、公式を知っていれば直ちに解答を得るような問題に、基礎演習として触れる機会が少なくない。

そのため、「数学とは公式の暗記である」と捉えてしまうものが少なからず存在する。しかし、このような捉え方をしてしまうと、丸暗記のみに専念することで、柔軟な発想ができなくなる、公式を知らないから解けないと投げ出してしまう、などのデメリットがあるとされる。

公式集

有用な公式を多数集めた公式集と呼ばれる本が市販されている。そのような本に載っている公式の数は膨大であり、かつそれぞれの形も複雑である。

関連項目

• 数学
• 定理
• 定石