ヘロンの公式
ヘロンの公式（ヘロンのこうしき）は任意の三角形の3辺a, b, c の長さから面積 T を求める公式。アレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられる[1]。
概要
この公式はアレクサンドリアのヘロンが彼の著書『Metrica』の中で証明を与えていることから彼に帰せられるが、現代ではこれ自体はシラクサのアルキメデスにも既知であったと考えられていて、さらにそれ以前から知られていた可能性もある。
一般化として、円に内接する四角形の面積を辺の長さから求めるブラーマグプタの公式があり、さらには円に内接するという条件を外し、角度も用いて四角形の面積を求めるブレートシュナイダーの公式がある。ヘロンの公式はこれらの公式の特別な場合となっている。
公式
また、以下のような s を用いない表記もある。
- [math]T=\frac{\sqrt{(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}{4}[/math]
- [math]T=\frac{\sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}}{4}[/math]
- [math]T=\frac{\sqrt{(a^2 + b^2 + c^2)^2 - 2(a^4 + b^4 + c^4)}}{4}.[/math]
証明
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線の長さを h とする。
このとき△ABCの面積を T とすると、
- [math]\begin{align} T&=\frac{ah}{2}=\frac{ab}{2}\sin C=\frac{ab}{2}\sqrt{1-\cos^2C}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\left(1+\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)\left(1-\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right)}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{a^2+2ab+b^2-c^2}{2ab}\times\frac{-(a^2-2ab+b^2-c^2)}{2ab}}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{(a+b)^2-c^2}{2ab}\times\frac{-\{(a-b)^2-c^2\}}{2ab}}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{-(a-b+c)(a-b-c)}{2ab}}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2ab}\times\frac{(a-b+c)(-a+b+c)}{2ab}}\\ &=\frac{ab}{2}\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2c\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2a\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{a^2b^2}{4}\times\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{4a^2b^2}}\\ &=\sqrt{\frac{(a+b+c)\{(a+b+c)-2a\}\{(a+b+c)-2b\}\{(a+b+c)-2c\}}{16}}\\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\times\frac{(a+b+c)-2a}{2}\times\frac{(a+b+c)-2b}{2}\times\frac{(a+b+c)-2c}{2}}\\ &=\sqrt{\frac{a+b+c}{2}\left(\frac{a+b+c}{2}-a\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-b\right)\left(\frac{a+b+c}{2}-c\right)}\\ \end{align}[/math]
となる。ここで、
- [math]s=\frac{a+b+c}{2}[/math]
とすると、
- [math]T=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}[/math]
が得られる。
ピタゴラスの定理を用いた代数的証明
△ABC において、A, B, C の対辺 BC, CA, AB の長さをそれぞれ a, b, c とし、A から辺 BC に下ろした垂線 AH の長さを ｈ とする。
この時△ABC の面積を S とすると h は、
[math]{ \text{1} \over \text{2} }ah=S [/math]
なので、
[math]h={2S \over a} [/math] (1)
と表せる。
適当な符号で、
[math]\pm CH\pm BH =a[/math] (2)
は自明であり、
(±は鈍角三角形と鋭角三角形の場合分けを省くためである。)
ピタゴラスの定理より、
[math]CH=\sqrt{b^2-h^2}[/math] (3)
[math]BH=\sqrt{c^2-h^2}[/math] (4)
と表せるので、(3)(4)の式に(1)を代入し、(2)の式に(3)(4)を代入すると、
[math]\pm\sqrt{b^2-\left ( \frac{2S}{a} \right )^2}\pm\sqrt{c^2-\left ( \frac{2S}{a} \right )^2}=a[/math]
となる。
この式を S について解いた正の方が解である。
3次元版
ヘロンの公式の3次元版として，四面体の体積を6辺の長さから求める公式を紹介する。 [2]
n次元版
ヘロンの公式のn次元版はCayley-Menger Determinantとして知られている。 [3]。
脚注
- ↑ “Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo” (Spanish). . 30 June 2012閲覧.
- ↑ Sabitov, I. (1998). “The Volume as a Metric Invariant of Polyhedra”. Discrete Comput Geom 20: 405. doi:10.1007/PL00009393.
- ↑ “Cayley-Menger Determinant” (English). . 19 June 2018閲覧.
参考文献
関連項目
外部リンク
- テンプレート:高校数学の美しい物語
- Weisstein, Eric W. “Heron's Formula”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。