オイラーの公式
数学、特に複素解析におけるオイラーの公式（オイラーのこうしき、英: Euler's formula）は、指数関数と三角関数の間に成り立つ以下の関係をいう。
- [math]e^{i\theta} =\cos\theta +i\sin\theta.[/math]
ここで e· は指数関数、i は虚数単位、cos ·, sin · はそれぞれ余弦関数および正弦関数である[注 1]。任意の複素数 θ に対して成り立つ等式であるが、特に θ が実数である場合が重要でありよく使われる。θ が実数のとき、θ は複素数 eiθ がなす複素平面上の偏角（角度 θ の単位はラジアン）に対応する。
公式の名前は18世紀の数学者レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) に因むが、最初の発見者はロジャー・コーツ (Roger Cotes) とされる。コーツは1714年に
- [math] \log\left(\cos x + i\sin x \right)=ix \ [/math]
を発見した[1]が、三角関数の周期性による対数関数の多価性を見逃した。
1740年頃オイラーはこの対数関数の形での公式から現在オイラーの公式の名で呼ばれる指数関数での形に注意を向けた。指数関数と三角関数の級数展開を比較することによる証明が得られ出版されたのは1748年のことだった[1]。
この公式は複素解析をはじめとする純粋数学の様々な分野や、電気工学・物理学などで現れる微分方程式の解析において重要な役割を演じる。物理学者のリチャード・ファインマンはこの公式を評して「我々の至宝」かつ「すべての数学のなかでもっとも素晴らしい公式」 [2][3]だと述べている。
オイラーの公式は、変数 θ が実数である場合には、右辺は実空間上で定義される通常の三角関数で表され、虚数の指数関数の実部と虚部がそれぞれ角度 θ に対応する余弦関数 cos と正弦関数 sin に等しいことを表す。このとき、偏角 θ をパラメータとする曲線 eiθ は、複素平面上の単位円をなす。 特に、θ = π のとき（すなわち偏角が 180 度のとき）、
- [math]e^{i\pi}=-1[/math]
となる。この関係はオイラーの等式 (Euler's identity) と呼ばれる[注 2]。
θ が純虚数である場合には、左辺は実空間上で定義される通常の指数関数であり、右辺は純虚数に対する三角関数となる。
オイラーの公式は、三角関数 cos θ, sin θ が双曲線関数 cosh(iθ), sinh(iθ)/i に対応することを導く。また応用上は、オイラーの公式を経由して三角関数を複素指数関数に置き換えることで、微分方程式やフーリエ級数などの扱いを簡単にすることなどに利用される。
Contents
指数関数と三角関数
実関数として定義される指数関数 ex および三角関数 cos x, sin x を各々マクローリン展開すれば[注 3] テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk テンプレート:NumBlk となる。これらの級数の収束半径が ∞ であることはダランベールの収束判定法によって確認することができる[注 4]。従ってこれらの級数は、x を複素変数と見て全複素平面上広義一様に絶対収束し、これらの級数によって表される関数は整関数である[注 5]。これら級数の収束性と正則関数に関する一致の定理により、正則関数としての拡張は全平面でこの収束冪級数によって確定されるため、複素関数としての指数関数および、三角関数は通常、この級数展開式をもって定義される。
ここで、 ex の x を ix に置き換え、eix の冪級数が絶対収束するために級数の項の順序を任意に交換可能である事を考慮すれば
- [math]\begin{align} e^{ix} &= \sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^n}{n!} x^{n}\\ &=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n}}{(2n)!}x^{2n} +\sum^{\infin}_{n=0} \frac{i^{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1}\\ &=\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n} +i\sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1} \end{align}[/math]
が成り立つ。この式と三角関数の冪級数展開を比較すれば
- [math]e^{ix} = \cos x + i\sin x[/math]
が得られる。
この公式は、歴史的には全く起源の異なる指数関数と三角関数が、複素数の世界では密接に結びついていることを表している。 たとえば、三角関数の加法定理は、指数法則 eaeb = ea + b に対応していることが分かる[4][注 6]。
オイラーの公式を利用して三角関数を指数関数に置き換えることができる。たとえば余弦関数と正弦関数については直接的に、
- [math]\begin{align} \cos z &= \frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}, \\ \sin z &= \frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} \end{align}[/math]
という表現が得られる。
証明
この公式には、上記の冪級数展開による証明の他にも異なる幾通りかの証明が知られている。ここにいくつかの例を挙げる。
微分による証明
テンプレート:Math proofテンプレート:Math proof
微分方程式による証明
2階線型微分方程式による証明
ロンスキー行列による証明
ド・モアブルの定理による証明
関連項目
脚注
参照
- ↑ 1.0 1.1 John Stillwell (2002). Mathematics and Its History. Springer.
- ↑ ファインマン 1977, pp. 294, 307.
- ↑ 吉田 2010.
- ↑ 複素関数を学ぶ人のために － 山口大学 理学部 物理・情報科学科 - 芦田 正巳
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- ↑ 指数関数 e· は累乗を拡張したもので、複素数 x, y について ex × ey = ex+y という関係が成り立つ。e = e1 = 2.718281828... は自然対数の底あるいはネイピア数と呼ばれる。
虚数単位 i は i2 = i × i = −1 を満たす複素数である。
余弦関数 cos · および正弦関数 sin · は三角関数の一種である。正弦関数 sin θ は、直角三角形の斜辺とその三角形の変数 θ に対応する角度を持つ鋭角の対辺（正弦）の長さの比を表す。余弦関数 cos θ はもう一方の鋭角（余角）の対辺と斜辺の長さの比を表す。単位円（半径の長さを 1 とする円）の中心を原点とする直交座標系をとったとき、単位円上の点を表す x, y 座標はそれぞれ cos θ, sin θ に等しい（θ は円の中心と円周上の点を結ぶ直線と、x 軸のなす角の大きさに対応する）。
文献によっては、指数関数は、exponent（指数）から3字取って exp x (= ex) と表される。また虚数単位には i でなく j を用いることがある。 - ↑ 三角関数の周期性（従って複素指数関数の周期性）により、オイラーの等式が成り立つのは θ = π に限らない。すなわち、任意の整数 z について θ = π + 2πz = 2π(z + 12) は eiθ = −1 を満たす。
- ↑ x = 0 の周りのテイラー展開をマクローリン展開 (Maclaurin expansion) と呼ぶ。また一般に関数を冪級数として表すことを冪級数展開と呼ぶ。
- ↑ 級数
- [math]\scriptstyle \sum_{n=0}^\infty a_n x^n[/math]
- [math]\scriptstyle r=\lim_{n \to \infty}\left |\frac{a_{n}}{a_{n+1}}\right|[/math]
- [math]\begin{align}\scriptstyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{1/n!}{1/(n+1)!} \right| &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left| \frac{(n+1)!}{n!} \right| \\ \scriptstyle &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty}\left(n+1\right) \\ \scriptstyle &\scriptstyle = \infty \end{align}[/math]
- [math]\begin{align} \scriptstyle \lim_{n \to \infty}\left|\frac{(-1)^n/(2n)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)\}!} \right| &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{\{2(n+1)\}!}{(2n)!} \\ \scriptstyle &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+2)(2n+1) \\ \scriptstyle &\scriptstyle = \infty \end{align}[/math]
- [math]\scriptstyle \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!} y^n[/math]
- [math]\begin{align} \scriptstyle \lim_{n \to \infty}\left |\frac{(-1)^n/(2n+1)!}{(-1)^{n+1}/\{2(n+1)+1\}!} \right| &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} \frac{(2n+3)!}{(2n+1)!} \\ \scriptstyle &\scriptstyle = \lim_{n \to \infty} (2n+3)(2n+2) \\ \scriptstyle &\scriptstyle =\infty \end{align}[/math]
- ↑ 全平面上正則な関数を整関数と言う。なおこれらは多項式でないので超越整関数であり、無限遠点を真性特異点に持つ
- ↑ ea + b を冪級数で表し、各項を二項展開し、展開した項を改めて整理すれば、指数法則 ea + b = eaeb を導出できる。
- [math]\begin{align}\scriptstyle e^{a+b} &\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{(a+b)^n}{n!}\\ &\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \frac{1}{n!} \sum^{n}_{r=0} \frac{n!}{r!(n-r)!}a^{r} b^{n-r}\\ &\scriptstyle = \sum^{\infin}_{n=0} \sum^{n}_{r=0} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\ &\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{a^{r} b^{n-r}}{r!(n-r)!}\\ &\scriptstyle = \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{n=r} \frac{b^{n-r}}{(n-r)!}\\ &\scriptstyle \overbrace{=}^{m \equiv n-r} \sum^{\infin}_{r=0} \frac{a^{r}}{r!} \sum^{\infin}_{m=0} \frac{b^{m}}{m!}\\ &\scriptstyle = e^{a}e^{b}. \end{align}[/math]
参考文献
- ファインマン, リチャード P. 『力学』I、坪井忠二訳、岩波書店〈ファインマン物理学〉、1977年、294, 307。ISBN 4-00-007711-2。OCLC 47339138。
- 吉田, 武 『オイラーの贈物—人類の至宝 eiπ = −1 を学ぶ』 東海大学出版会、2010年、新装版。ISBN 978-448601863-6。OCLC 502982012。
- 小笠, 英志 『相対性理論の式を導いてみよう、そして、人に話そう』 ベレ出版、2011年、pp.165-171。ISBN 978-486064-267-9。
- 藤田, 宏 『応用数学 (放送大学教材)』 放送大学教育振興会、1993年。ISBN 978-4595-56532-8。
- Dunham, William (1999). Euler: The Master of Us All. The Mathematical Association of America. ISBN 978-088385328-3.
- 杉浦, 光夫 『解析入門I』 東京大学出版会〈基礎数学2〉、1980年。ISBN 978-4-13-062005-5。
- 田村, 二郎 『解析関数（新版）』 裳華房〈数学選書3〉、1983年。ISBN 978-4-7853-1307-4。