直角三角形
直角三角形（ちょっかくさんかくけい、英: right triangle）は、三角形の一種である。三角形の3つの内角のうち、他のどの内角よりも小さくない角に注目したとき、その角が直角 (90°=π/2 rad) に等しい図形を指す。
直角三角形の各辺の長さの関係はピタゴラスの定理（三平方の定理）と呼ばれる。記号⊿を使ってあらわすことがある。
直角三角形の直角以外の2つの角を、直角三角形の鋭角 と呼ぶ。それらの大きさの和は、直角に等しい。 直角三角形の直角の対辺を斜辺と言い、残りの2辺を 直角をはさむ2辺 または単に隣辺と言う。
直角の頂点を直角頂と呼ぶ。直角頂は垂心に等しい。
Contents
直角三角形の面積
直角三角形の面積は、直角をはさむ２辺の長さを掛け合わせた積の二分の一に等しい。
直角三角形の斜辺
直角三角形の斜辺は、3辺のうち最も長い。斜辺の中点は、直角三角形の3頂点まで等しい距離にある（外心）。 直角三角形の斜辺の長さは、外接円の直径に等しく、また、直角をはさむ2辺の長さの和から、内接円の直径を引いた差に等しい。
合同な2つの直角三角形を、異なる頂点同士が重なるように斜辺を共有させて並べると、長方形ができる。直角三角形は面積 ab の長方形を1本の対角線で区切って2等分した図形なので、面積は ab/2 である。また、合同な2つの直角三角形を、直角の頂点同士および他のもう1角の頂点同士が重なるように並べると二等辺三角形ができる。合同な三角形を2つ並べて別の三角形ができるのはこの場合のみに限る。
三平方の定理（ピタゴラスの定理、勾股定理）
直角三角形の3本の辺では、常に斜辺が最も長くなる。直角でない角A, Bはどちらも90°未満の大きさである。斜辺 c と他の2辺 a, b との関係は
- [math]a^2+b^2=c^2\,[/math]
である。一方、その逆に、この式が成り立つ3辺をもつ三角形は直角三角形である（三平方の定理の逆）。
三角関数
各辺の比は各内角の三角比で
- [math]\sin B = \frac b c[/math]
- [math]\cos B = \frac a c[/math]
- [math]\tan B = \frac b a[/math]
と表す。
なお
- [math]\sin^2B + \cos^2B = \frac {b^2+a^2}{c^2}=1[/math]
である。
利用
三角定規は直角三角形であり、直角でない2つの角が30°および60°の半正三角形（正三角形を半分にしたもの）と2つの角がともに45°である直角二等辺三角形との2種類を1組とするのが一般的である。半正三角形の長いほうの隣辺と、直角二等辺三角形の斜辺の長さは同じ場合が多い。これらを使って平行線や垂線を容易に作図できる。
三辺の長さが整数になる直角三角形について
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m＞n≧1 を満たす整数(m及びn)を基に、各辺の長さが
- [math]m^2-n^2[/math]
- [math]2mn[/math]
- [math]m^2+n^2[/math]
となる直角三角形を求め出せる。
上記の条件と式による相似三角形の生成
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上記の限りの条件に従いながら各式からの算出値を各辺の長さに割り当てて三角形を生成することを繰り返す場合、 mとnについて、その比が以前の比と異なるように設定されても生成される三角形が以前に生成された三角形と互いに相似となる場合がある。 例えば、
- [math]m=5[/math] および [math]n=2[/math] という設定で求め出される各式からの算出値 21 , 20 , 29
- [math]m=7[/math] および [math]n=3[/math] という設定で求め出される各式からの算出値 40 , 42 , 58
をそれぞれ辺の長さとして三角形を作ると、互いに相似となる。 [1]
この例では、mとnについて、前者の設定を [math]m=s[/math] および [math]n=t[/math] と定義した場合、後者の設定が [math]m=s+t[/math] および [math]n=s-t[/math] となる関係が成り立っている。(上の例では s=5 および t=2 )
この設定の関係から元の三角形と相似になる設定とその算出値およびその比を求めていくと
- m=10 , n=4 → 84 , 80 , 116 (21:20:29)
- m=14 , n=6 → 160, 168, 232 (20:21:29)
- m=20 , n=8 → 336 , 320, 464 (21:20:29)
- m=28 , n=12 → 640, 672, 928 (20:21:29)
などがあり、この設定の関係を利用しても三辺の長さが整数で互いに相似である直角三角形を無限に求め出せることが自然に成り立つ。 (各回ごとに隣辺（ここでは直角をはさむ２辺の意）の長さの比が交換され、３回目以降はmとnの和と差がそれぞれ２回前のものの２倍となっている。)
互いに相似となる三辺の長さが整数の直角三角形の生成例の図において、 青の長方形の各辺の長さを整数とすれば、その長辺と短辺の和と差で辺が構成される緑の長方形の各辺の長さも整数となり、青と緑の長方形が互いに相似となることはない [2] が、青と緑の長方形から同様の手順で生成される直角三角形（黄と赤）は互いに相似となる。
条件および式の変更による相似重複の排除
素数のうち、２のみが偶数であり、他の素数が奇数であることに着目すれば、条件を、
- m と n について、m＞n≧1が成り立つ奇数であること。
- nが1より大きい場合は、mとnの両者に共通する素因数がないこと。（互いに素であること。1（または-1）以外の公約数がないこと。）
とし、辺の長さを求めだす式をそれぞれ
- [math]b=mn[/math] (隣辺（ここでは直角をはさむ２辺の意）のもう一方の長さ。同条件下、mとnは互いに素である奇数とされ、m＞n≧1 と定められているため、その組み合わせごとに独自の値となり、かつ、奇数になる。)
- [math]c=\frac{m^2+n^2}2[/math] (斜辺の長さ。分子は８で割れば余りが２となる偶数となっており[5]、分母の２で割った結果は奇数となる。)
とすれば、この条件下、mとnの組み合わせごとに各式から算出される値そのものを用いて、直角三角形の三辺の長さの独自の比を求め出すことができる。 [6]
また、同条件下で別の値をmとnに設定することにより、aとbが交換された組み合わせが生じる可能性については、 aが4の倍数であり、4の倍数をb(mとnの積)に設定すること自体が許されない [7] ということから否定される。
よって、同条件下ではmとnの組み合わせごとにこれらの３つの式から得られるa,b,cの値そのものを用いる独自の直角三角形の三辺の長さの整数比が生成され、 mとnを異なる組み合わせに変更して算出しなおしても、変更前と同じ比（相似も含む）が生成されることはない。
三辺整数比の直角三角形の無限性について
また、素数が無限にあるということが肯定される以上は、直角三角形の三辺の整数比も無限にあるということになり、 当然、既知の三辺整数比の直角三角形のいずれとも相似とならない三辺整数比の直角三角形を無限に求め出せるということにもなる。
東洋における歴史
明治初期の日本では、直角三角形は「勾股弦の形[8]」と呼ばれていた。この名の起源は漢の『九章算術』「勾股」章にまで遡ることができる。なお、『九章算術』は現代の中国はもちろんのこと、日本の和算にも引き継がれている。また「勾股弦」の語は現在の日本の伝統建築の規矩術[9]でも用いられている。（斜辺を「玄」、隣辺を「勾」、「殳」とあらわす。）
脚注
- ↑ 後者の算出値 40,42,58 を比で表すと 20:21:29 となり、前者の各算出値を(そのまま)比にした21:20:29と順番は異なるが、算出値の組み合わせごとにそれらの値を各辺の長さとして三角形を生成すれば、それらの三角形は互いに相似であるとみなせる。
- ↑
長辺と短辺の長さがxとyである長方形と相似であり、かつ辺の長さがその和と差で構成される別の長方形を求める場合、
- [math]x:y=x+y:x-y[/math] と定義すれば [math]x=y \pm y\sqrt 2[/math] となり、
- [math]x:y=x-y:x+y[/math] と定義すれば [math]x=\pm y \cdot i[/math] となり、
- ↑ 奇数の二乗で表される平方数どうしの差の図
- ↑ 最低限４の倍数であるという意味であり、例えば８の倍数( [math]\frac{11^2-3^2}2=\frac{121-9}2=\frac{112}2=56[/math] など)となる場合も含む。
- ↑
xとyをそれぞれ0以上の整数とし、２つの奇数を [math]2x+1[/math] および [math]2y+1[/math] と定義した場合、
- [math](2x+1)^2+(2y+1)^2=4(x(x+1)+y(y+1))+2=8(X+Y)+2[/math]
- [math]X=\frac{x(x+1)}2[/math] （左の式では、奇数×偶数÷２、あるいは、偶数×奇数÷２ という関係が成り立つので結果は整数となる。）
- [math]Y=\frac{y(y+1)}2[/math] （左の式では、奇数×偶数÷２、あるいは、偶数×奇数÷２ という関係が成り立つので結果は整数となる。）
- [math](2x+1)^2+(2y+1)^2=4(x(x+1)+y(y+1))+2=8(X+Y)+2[/math]
- ↑ [math]m^2 \pm n^2[/math] の二値は [math]mn[/math] との間に1（または-1）以外の公約数がない。
- ↑ mかnの少なくとも一方が偶数であることになるために許可されない。
- ↑ 久米邦武 編『米欧回覧実記・5』田中 彰 校注、岩波書店（岩波文庫）1996年、247頁
- ↑ http://www2u.biglobe.ne.jp/~tyouken/sumigi/koukogen.htm