素環
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環論において、素環(そかん、英: prime ring)とは、任意の a, b ∈ R について、aRb = {0} ならば a = 0 または b = 0 が成り立つような環 R のことである。
同値な定義
環 R が素環であることは以下のいずれの条件とも同値である。
- {0} は素イデアル
- R の左イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
- R の右イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
- R の両側イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
例
性質
参考文献
- 岩永恭雄・佐藤眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。