素環

環論において、素環（そかん、英: prime ring）とは、任意の a, b ∈ R について、aRb = {0} ならば a = 0 または b = 0 が成り立つような環 R のことである。

同値な定義

環 R が素環であることは以下のいずれの条件とも同値である。

• {0} は素イデアル
• R の左イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
• R の右イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}
• R の両側イデアル I, J について、IJ = {0} ならば I = {0} または J = {0}

例

• 域は素環である。
• 単純環は素環である。

性質

• 可換環において、整域と素環は同値である。

参考文献

• 岩永恭雄・佐藤眞久 『環と加群のホモロジー代数的理論』 日本評論社、2002年、第1版。ISBN 4-535-78367-5。