環の直積

数学において、いくつかの環を1つの大きい直積環、積環 (product ring) に合併することができる。これは次のようにされる： I がある添え字集合で R_i が I のすべての i に対して環であれば、カルテジアン積 Π_{i ∈ I} R_i は演算を coordinate-wise に定義することによって環にできる。

得られる環は環 R_i の直積 (direct product) と呼ばれる。有限個の環の直積は環の直和 (direct sum) と一致する。

例

重要な例は整数の n を法とした環 Z/nZ である。n が素数のベキの積

[math]n=p_1^{n_1}\ p_2^{n_2}\ \cdots\ p_k^{n_k}[/math]

ただし p_i は相異なる素数、として書かれていれば（算術の基本定理を見よ）、Z/nZ は自然に直積環

[math]\mathbf{Z}/p_1^{n_1}\mathbf{Z} \ \times \ \mathbf{Z}/p_2^{n_2}\mathbf{Z} \ \times \ \cdots \ \times \ \mathbf{Z}/p_k^{n_k}\mathbf{Z}[/math]

と同型である。これは中国剰余定理から従う。

性質

R = Π_{i ∈ I} R_i が環の積であれば、すべての i ∈ I に対して、i 番目の座標に積を射影する全射環準同型 p_i: R → R_i がある。射影 p_i とともに積 R は、以下の普遍性をもっている：

S が任意の環で f_i: S → R_i がすべての i ∈ I に対して環準同型であれば、ちょうど1つの環準同型 f: S → R が存在してすべての i ∈ I に対して p_i ∘ f = f_i である。

これは環の積が圏論の意味での積の例であることを示している。しかしながら、I が有限のときには環の直和とも呼ばれるにもかかわらず、環の直積は圏論の意味で余積ではない。とくに、I が1つより多くの元をもっていれば、包含写像 R_i → R は環準同型ではない、なぜならばそれは R_i の単位元を R の単位元に写さないからだ。

各 i ∈ I に対して A_i が R_i のイデアルであれば、A = Π_{i ∈ I} A_i は R のイデアルである。I が有限であれば、逆が正しい、すなわち R のすべてのイデアルはこの形である。しかしながら、I が無限で環 R_i が 0 でなければ、逆は間違いである。有限個を除いてすべてが 0 でない座標の元全体の集合は R_i たちのイデアルの直積ではないイデアルをなす。A_i の1つを除くすべてが R_i に等しく残りの A_i が R_i の素イデアルであれば、イデアル A は R の素イデアルである。しかしながら、I が無限のとき逆は正しくない。例えば、R_i の直和はどんなそのような A にも含まれないイデアルをなすが、選択公理によって、a fortiori に素イデアルである極大イデアルに含まれる。

R の元 x が単元であることとその component のすべてが単元であることは同値である、すなわち p_i(x) がすべての i ∈ I に対して R_i の単元であることは同値である。R の単元群は R_i の単元群の直積である。

1 つよりも多い 0 でない環の積は常に零因子をもつ： x が p_i(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元で y が p_i(x) を除いて座標がすべて 0 の積の元 (i ≠ j) であれば、積環において xy = 0 である。

関連項目

• 直積 (Direct product)

参考文献

• Herstein, I.N. (2005) [1968], Noncommutative rings (5th ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-88385-039-8 
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