命数法

命数法（めいすうほう）とは、数詞を用いて数を表す命数（めいすう）の方法であり、言語により異なる。例えば 10000 を、日本語では「一万」、英語では ten thousand（「十千」） と呼ぶ。命数法のうち、数字を用いて数を表す方法を記数法という。

命数には、一般に1から9までの数字を表す数詞と、十、百、千などの位を表す数詞とがある。後者を持たない言語も少なくない。位取りは十進法が圧倒的に多いが、二十進法や十二進法も散見される。

数学の発展に伴い、大数を表すのに複数の位の数詞を組み合わせる方法が様々な言語で生まれた。

現在では、漢字文化圏では4桁（万倍）ごと（ただしベトナムでは3桁ごとの組に区切る）、ヨーロッパでは3桁あるいは6桁（千倍あるいは百万倍）ごと、インドでは1000の百倍ごとの組に区切り、各組に位の数詞を付ける方法が取られている。例えば日本語では12345678を「一千二百三十四万五千六百七十八」と呼ぶ。書くときに、アラビア数字の十進位取り記数法を併用して「1234万5678」とすることも広く行われている。

漢数字

大数

中国に由来する漢数字では、以下の数詞で大数を示す。

一、十、百、千、万、億、兆、京、…

万より大きい数詞の示す値には3種類あり、統一されていなかった。下数、中数、上数である。

当初は万 (10⁴) を区切りとして十万 (10⁵)、百万 (10⁶)、千万 (10⁷) まで表していた。これとは別に、万から1桁ごとに億 (10⁵)、兆 (10⁶)、と名付けていた。これを下数（かすう）と呼ぶ。

漢代あたりから、上数（じょうすう）が記載され始めた。数詞が表す位の2乗が次の数詞となる。万万が億（10⁸）であるのは今日と同じであるが、次は億億が兆 (10¹⁶)、兆兆が京 (10³²) となる。実際に使われたことはないようであり、数学書では用いられていない。

その後、千万の次を億とし、十億 (10⁹)、百億 (10¹⁰) と続けていく方法が考案された。これを中数（ちゅうすう）という。ただし、初期の数学書に示されている中数は万万 (10⁸) 倍ごとに新たな名称をつける方式であった。すなわち、千億 (10¹¹)、万億 (10¹²)、十万億 (10¹³) と続き、億の万万倍を兆 (10¹⁶)、兆の万万倍を京 (10²⁴) とする。これを万万進という。後に、万倍ごと、すなわち万万を億、万億を兆 (10¹²) とする万進に移行した。

日本では、1627年（寛永4年）の『塵劫記』の初版において初めて大きな数が登場するが、極以下が下数、恒河沙より上を万万進の中数としていた。1631年（寛永8年）の版では極以下が万進に改められ、1634年（寛永11年）の版ではすべて万進に統一された。今日でも万進だけが使用されている。

中国では、近代まで万万進と万進が混用されたままであった。それに加えて、メートル法の接頭辞のメガ (10⁶) に「兆」（下数における 10⁶）の字をあてたため、さらに混乱が生じた。今日では、「億」は中数の 10⁸、「兆」は下数の 10⁶ の意味となっており、兆より億の方が大きくなっている。日本でいう兆 (10¹²) は「万億」といい、京以上については、例えば 10¹⁶ は「万万億」または「億億」のように呼んでいる。台湾には日本の命数法が導入されていたので、兆は 10¹² であるが、京以上の命数はほとんど用いられていない。

ベトナムでは西洋式に3桁ずつ新しい名称が使われるが、10⁶を「triệu」（兆）、10⁹を「tỷ」（秭）と呼ぶ。これは下数にあたる。

「塵劫記」での命数は以下のようになっている 。 位の大きなものの名称については版によって相違がある。併記した記数は万進による。

塵劫記での命数

一（いち） 100	十（じゅう） 101	百（ひゃく） 102	千（せん） 103
万（まん） 104	十万 105	百万 106	千万 107
億（おく） 108	十億 109	百億 1010	千億 1011
兆（ちょう） 1012	十兆 1013	百兆 1014	千兆 1015
京（けい、きょう） 1016	十京 1017	百京 1018	千京 1019
垓（がい） 1020	十垓 1021	百垓 1022	千垓 1023
𥝱（じょ）、秭（し） 1024	十𥝱 1025	百𥝱 1026	千𥝱 1027
穣（じょう） 1028	十穣 1029	百穣 1030	千穣 1031
溝（こう） 1032	十溝 1033	百溝 1034	千溝 1035
澗（かん） 1036	十澗 1037	百澗 1038	千澗 1039
正（せい） 1040	十正 1041	百正 1042	千正 1043
載（さい） 1044	十載 1045	百載 1046	千載 1047
極（ごく） 1048	十極 1049	百極 1050	千極 1051
恒河沙（ごうがしゃ） 1052	十恒河沙 1053	百恒河沙 1054	千恒河沙 1055
阿僧祇（あそうぎ） 1056	十阿僧祇 1057	百阿僧祇 1058	千阿僧祇 1059
那由他（なゆた） 1060	十那由他 1061	百那由他 1062	千那由他 1063
不可思議（ふかしぎ） 1064	十不可思議 1065	百不可思議 1066	千不可思議 1067
無量大数（むりょうたいすう） 1068

「塵劫記」のいくつかの写本では1恒河沙=1億極、1阿僧祇 = 1億恒河沙というように恒河沙から8桁刻み(万万進)となる。この説に従うと1恒河沙 = 10⁵⁶、1阿僧祇 = 10⁶⁴、1那由他 = 10⁷²、1不可思議 = 10⁸⁰、1無量大数 = 10⁸⁸となる。

なお、無量大数を「無量」と「大数」に分けて説明しているものもあるが、これは『塵劫記』で無量と大数の間に傷ができて間隔があき、別の数のように見える版があったためである。無量大数で一つの数とするのが普通である。

小数

小数については、一桁（0.1倍）ごとに新たな名前をつける下数が行われているが、これも、位の小さなものの名称については時代や地域、また書物によって相違がある。例えば朱世傑『算学啓蒙』では沙以下は万万進としているほか、「虚・空・清・浄」を4つの別の名とするなどの違いがある。以下は一例である。

少数の命数法

呼称	数
一（いち）	100
分（ぶ）	10−1
厘（釐）（りん）	10−2
毛（毫）（もう）	10−3
糸（絲）（し）	10−4
忽（こつ）	10−5
微（び）	10−6
繊（せん）	10−7
沙（しゃ）	10−8
塵（じん）	10−9
埃（あい）	10−10
渺（びょう）	10−11
漠（ばく）	10−12
模糊（もこ）	10−13
逡巡（しゅんじゅん）	10−14
須臾（しゅゆ）	10−15
瞬息（しゅんそく）	10−16
弾指（だんし）	10−17
刹那（せつな）	10−18
六徳（りっとく）	10−19
虚空（こくう）	10−20
清浄（しょうじょう）	10−21
阿頼耶（あらや）	10−22
阿摩羅（あまら）	10−23
涅槃寂静（ねはんじゃくじょう）	10−24

このうち、「塵劫記」では埃より大きいもののみが紹介されている 。 実用で用いられるのは毛あるいは糸くらいまでであり、それ以下については名前がついているだけで実際にはほとんど用いられない。なお、「六徳（りっとく）」は「徳」の6倍という意味ではなく、「六徳」で一つの単位である。

実際に桁を連ねるときは、「二寸三分四厘」のように1の位の後に「基準単位（ここでは「寸」）」をつける。現代的な表現が「2.34寸」のように最後に「基準単位」を付けるのとは異なる。

割と共に用いる場合の誤解

基準単位として「割」を使う場合は「二割三分四厘」のようになることから、「分が 1/100、厘が 1/1000 だ」と勘違いをされることがある。しかし、これは「2.34割」の意味であって、「分は割の 1/10、厘は割の 1/100」であり、上記の「二寸三分四厘 = 2.34寸」と同様の表現である。

上記の勘違いを生ずる原因は、割を用いる場合に割そのものが 1/10 を意味するために、「分が全体の 1/100、厘が全体の 1/1000 である」と誤解するからである。分、厘、毛などの数詞は、「基準単位」（例えば、寸、割、匁など）の小数を意味することを理解しておく必要がある。詳細は、分 (数)#1⁄100との誤解を参照のこと。

仏典の数詞

華厳経の巻第四十五、阿僧祇品第三十には、上記の命数法とは異なる命数が記述されている。10⁵ を洛叉（らくしゃ）、百洛叉 (= 10⁷) を倶胝（くてい）とし、倶胝以上を上数として123の命数が列挙されている。最大の命数である不可説不可説転は

[math]10^{7 \times 2^{122}} = 10^{37218383881977644441306597687849648128}[/math]

という巨大な数となる。もっとも、これらは実用のものではなく、計算もできないほど大きな数を示して悟りの功徳の大きさを表したものである。

なお、この命数法には曖昧さがある。「一不可説不可説転」はひとつの命数と見なせば [math]10^{7 \times 2^{122}}[/math] であるが、「不可説」「不可説転」という命数が別にあるため、「一不可説/不可説転」として

[math]10^{7 \times 2^{119}} \times 10^{7 \times 2^{120}} = 10^{7 \times 3 \times 2^{119}}[/math]

という数としても解釈できる。

名称	n	数 [math]10^{7 \times 2^{n}}[/math]
倶胝	0	107
阿庾多	1	1014
那由他	2	1028
頻波羅	3	1056
矜羯羅	4	10112
阿伽羅	5	10224
最勝	6	10448
摩婆羅	7	10896
阿婆羅	8	101792
多婆羅	9	103584
界分	10	107168
普摩	11	1014336
禰摩	12	1028672
阿婆鈐	13	1057344
弥伽婆	14	10114688
毘攞伽	15	10229376
毘伽婆	16	10458752
僧羯邏摩	17	10917504
毘薩羅	18	101835008
毘贍婆	19	103670016
毘盛伽	20	107340032
毘素陀	21	1014680064
毘婆訶	22	1029360128
毘薄底	23	1058720256
毘佉擔	24	10117440512
称量	25	10234881024
一持	26	10469762048
異路	27	10939524096
顛倒	28	101879048192
三末耶	29	103758096384
毘睹羅	30	107516192768
奚婆羅	31	1015032385536
伺察	32	1030064771072
周広	33	1060129542144
高出	34	10120259084288
最妙	35	10240518168576
泥羅婆	36	10481036337152
訶理婆	37	10962072674304
一動	38	101924145348608
訶理蒲	39	103848290697216
訶理三	40	107696581394432
奚魯伽	41	1015393162788864
達攞歩陀	42	1030786325577728
訶魯那	43	1061572651155456
摩魯陀	44	10123145302310912
懺慕陀	45	10246290604621824
瑿攞陀	46	10492581209243648
摩魯摩	47	10985162418487296
調伏	48	101970324836974592
離憍慢	49	103940649673949184
不動	50	107881299347898368
極量	51	1015762598695796736
阿麼怛羅	52	1031525197391593472
勃麼怛羅	53	1063050394783186944
伽麼怛羅	54	10126100789566373888
那麼怛羅	55	10252201579132747776
奚麼怛羅	56	10504403158265495552
鞞麼怛羅	57	101008806316530991104
鉢羅麼怛羅	58	102017612633061982208
尸婆麼怛羅	59	104035225266123964416
翳羅	60	108070450532247928832
薜羅	61	1016140901064495857664
諦羅	62	1032281802128991715328
偈羅	63	1064563604257983430656
窣歩羅	64	10129127208515966861312
泥羅	65	10258254417031933722624
計羅	66	10516508834063867445248
細羅	67	101033017668127734890496
睥羅	68	102066035336255469780992
謎羅	69	104132070672510939561984
娑攞荼	70	108264141345021879123968
謎魯陀	71	1016528282690043758247936
契魯陀	72	1033056565380087516495872
摩睹羅	73	1066113130760175032991744
娑母羅	74	10132226261520350065983488
阿野娑	75	10264452523040700131966976
伽麼羅	76	10528905046081400263933952
摩伽婆	77	101057810092162800527867904
阿怛羅	78	102115620184325601055735808
醯魯耶	79	104231240368651202111471616
薜魯婆	80	108462480737302404222943232
羯羅波	81	1016924961474604808445886464
訶婆婆	82	1033849922949209616891772928
毘婆羅	83	1067699845898419233783545856
那婆羅	84	10135399691796838467567091712
摩攞羅	85	10270799383593676935134183424
娑婆羅	86	10541598767187353870268366848
迷攞普	87	101083197534374707740536733696
者麼羅	88	102166395068749415481073467392
駄麼羅	89	104332790137498830962146934784
鉢攞麼陀	90	108665580274997661924293869568
毘伽摩	91	1017331160549995323848587739136
烏波跋多	92	1034662321099990647697175478272
演説	93	1069324642199981295394350956544
無尽	94	10138649284399962590788701913088
出生	95	10277298568799925181577403826176
無我	96	10554597137599850363154807652352
阿畔多	97	101109194275199700726309615304704
青蓮華	98	102218388550399401452619230609408
鉢頭摩	99	104436777100798802905238461218816
僧祇	100	108873554201597605810476922437632
趣	101	1017747108403195211620953844875264
至	102	1035494216806390423241907689750528
阿僧祇	103	1070988433612780846483815379501056
阿僧祇転	104	10141976867225561692967630759002112
無量	105	10283953734451123385935261518004224
無量転	106	10567907468902246771870523036008448
無辺	107	101135814937804493543741046072016896
無辺転	108	102271629875608987087482092144033792
無等	109	104543259751217974174964184288067584
無等転	110	109086519502435948349928368576135168
不可数	111	1018173039004871896699856737152270336
不可数転	112	1036346078009743793399713474304540672
不可称	113	1072692156019487586799426948609081344
不可称転	114	10145384312038975173598853897218162688
不可思	115	10290768624077950347197707794436325376
不可思転	116	10581537248155900694395415588872650752
不可量	117	101163074496311801388790831177745301504
不可量転	118	102326148992623602777581662355490603008
不可説	119	104652297985247205555163324710981206016
不可説転	120	109304595970494411110326649421962412032
不可説不可説	121	1018609191940988822220653298843924824064
不可説不可説転	122	1037218383881977644441306597687849648128

西洋

• 西洋の命数法を参照

インド

• インドの命数法を参照

関連項目

• 数の一覧
• 数の比較
• 単位一覧
• 位取り記数法
• 漢数字
• 西洋の命数法
• インドの命数法

外部リンク

• 無量大数の彼方へ
• 大数の名前