メリン変換

メリン変換（メリンへんかん、英: Mellin transform）

両側ラプラス変換の乗法版と見なされる積分変換。この変換はディリクレ級数の理論と密接に関連しており、数論や漸近展開の理論においてよく用いられる。ラプラス変換、フーリエ変換、ガンマ関数や特殊関数の理論と関係している。

この変換の名はフィンランドの数学者ハジャルマー・メリンの名にちなむ。

定義

局所可積分な関数 f のメリン変換は

[math]\left\{\mathcal{M}f\right\}(s) = \varphi(s)=\int_0^{\infty} x^{s-1} f(x)dx [/math]

により定義される。 任意の小さな正の数 [math]\epsilon[/math] に対して、 [math]x\to +0[/math] のとき [math]f(x)=O(x^{-a-\epsilon})[/math] 、 [math]x\to +\infty[/math] のとき [math]f(x)=O(x^{-b+\epsilon})[/math] と評価できるならば、上の積分は絶対収束する。さらに、 [math]\left\{\mathcal{M}f\right\}(s)[/math] は [math]a\lt \Re (s)\lt b[/math] で解析的な関数となる。

また、メリン逆変換は

[math]\left\{\mathcal{M}^{-1}\varphi\right\}(x) = f(x)=\frac{1}{2 \pi i} \int_{c-i \infty}^{c+i \infty} x^{-s} \varphi(s)\, ds [/math]

により定義される。記号は、複素平面上の縦軸に沿った線積分を意味している。ここで、 c は [math]a\lt c\lt b[/math] を満たす任意の実数である。 このような逆が存在するための条件は、メリン逆定理で与えられている。

参考文献

• (2004) Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6. 
• Paris, R. B. (2001). Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals. Cambridge University Press. 
• Polyanin, A. D. (1998). Handbook of Integral Equations. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4. 
• Flajolet, P.; Gourdon, X.; Dumas, P. (1995). “Mellin transforms and asymptotics: Harmonic sums”. Theoretical Computer Science 144 (1-2): 3–58. 
• Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
• Weisstein, Eric W. “Mellin Transform”. MathWorld（英語）.

---

楽天市場検索:

---