漸近展開
漸近展開（ぜんきんてんかい、英: Asymptotic expansion）とは、与えられた関数を、より簡単な形をした関数列の級数として近似することをいう。テイラー展開は漸近展開の特別な場合であるが、漸近展開で得られた級数の値は、必ずしも元の関数の値に収束するとは言えない。しかし、関数の性質を調べる際、元の関数の形では扱いが難しい場合、漸近展開によって元の関数を級数の形で近似することにより、関数の性質が得られることがある。漸近展開は解析学では重要な手法の一つであり、確率論の基礎として用いることがある[1]。
Contents
漸近級数
関数 [math]\scriptstyle f(x)\![/math] を定義域が実数の領域で定義された関数とし[2]、[math]x_0[/math] を [math]\scriptstyle f(x)\![/math] の定義域内の点とする。
関数列 [math]\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}[/math] が次の条件を満たすとき、漸近関数列という。
- [math]\varphi_{n+1}(x) = o(\varphi_{n}(x))\ \ \ (x\to x_0)\ \ \ \ (n = 0,\ 1,\ 2,\ldots)[/math]
実数列 [math]\scriptstyle\{ a_n \}_{n\ge 0}[/math] が存在して、任意の正整数 n に対し
[math] f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x) = o(\varphi_n(x))\ \ \ \ \ (x\to x_0) [/math]
が成立するとき、
[math] \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x) [/math]
を [math]\scriptstyle f(x)\![/math] の漸近級数といい、
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x) [/math]
と表す。
さらに、漸近級数が次の条件を満たすとき、ポアンカレの意味での漸近級数または狭義の漸近級数という[3]。
- 任意の正整数 n、[math]\scriptstyle f(x)\![/math] の定義域内の x に対して
- [math]\left|f(x) - \sum_{k=0}^n a_k\varphi_k(x)\right| \lt |a_{n+1}\varphi_{n+1}(x)|[/math]
- が成立する。
漸近関数列が [math]\scriptstyle\{ (x-x_0)^n \}_{n\ge 0}[/math] [math]\scriptstyle(|x_0|\lt \infty)[/math] または [math]\scriptstyle\{ x^{-n} \}_{n\ge 0}[/math] [math]\scriptstyle(|x_0|=\infty)[/math] の形の漸近級数を、漸近冪級数という。
与えられた漸近関数列を用いて、[math]\scriptstyle f(x)\![/math] の漸近級数を得ることを漸近展開といい、 [math]\scriptstyle f(x)\![/math] の漸近級数 [math]\textstyle\sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)[/math] が存在する場合、 [math]\scriptstyle f(x)\![/math] は漸近展開
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x) [/math]
を持つという。
性質
一意性
任意の関数 [math]\scriptstyle f(x)\![/math] に対して、[math]\scriptstyle f(x)\![/math] に対する漸近級数は存在しても唯一とは限らない。例えば
- [math]1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}x^{-k}\ \ \ \ (x\to\infty)[/math]
- [math]1/(x-1)\sim\sum_{k=1}^{\infty}(x^2+x+1)x^{-3k}\ \ \ \ (x\to\infty)[/math]
しかし、与えられた漸近関数列に対する漸近級数は存在しても唯１つしか存在しない。従って、ある点でテイラー展開された冪級数は、その点での唯一の漸近冪級数である。
さらに、漸近級数の各係数は
[math] a_0 = \lim_{x\to x_0} f(x),\ \ \ \ \ a_n = \lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - \sum_{k=0}^{n-1}a_k\varphi_k(x)}{\varphi_n(x)}\ \ \ (n\ge 1) [/math]
で与えられる。
和と積
点 [math]x_0[/math] の近傍で定義された関数 [math]\scriptstyle f(x),\ g(x)[/math] は、漸近関数列 [math]\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}[/math] に対する漸近展開
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ \ \ g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}b_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
を持つとする。このとき、任意の α、β に対して
[math] \alpha f(x) + \beta g(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}(\alpha a_k + \beta b_k)\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
が成立する。
さらに、漸近関数列が [math]\scriptstyle\{ \varphi(x)^n \}_{n\ge 0}[/math] [math]\scriptstyle(\varphi(x)\to\infty\ (x\to x_0))[/math] である場合、
[math] f(x)g(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}c_n\varphi(x)^n\ \ \ (c_n = \sum_{k=0}^n a_kb_{n-k})\ \ \ (x\to x_0) [/math]
が成立する。
項別微分
一般に、関数を無限級数で表したとき、項別微分した関数が元の関数を微分したものと一致しない様に、漸近級数も項別微分した級数は、元の関数を微分した関数の漸近展開になるとは限らない。 項別微分した関数が漸近展開したものにあるかは、元の関数や漸近関数列によって決まる。
漸近関数列 [math]\scriptstyle\{ \varphi_n(x) \}_{n\ge 0}[/math] は各 n に対して、[math]x_0[/math] の近傍で微分可能であり、関数列 [math]\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}[/math] が漸近関数列である場合、以下のことが成立する。
[math]\scriptstyle f(x)\![/math] は、[math]x_0[/math] の近傍で微分可能であり、
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
となる漸近展開を持ち、[math]\scriptstyle f'(x)\![/math] が漸近関数列 [math]\scriptstyle\{ \varphi'_n(x) \}_{n\ge 0}[/math] を用いて漸近展開することができるのであれば
[math] f'(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi'_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
が成立する。
項別積分
[math]\scriptstyle|x_0|\lt \infty[/math] とし、[math]\scriptstyle f(x)\![/math] の漸近展開を
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\varphi_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
とする。定積分
[math] \Phi_n(x) = \int_{x_0}^x\varphi_n(t)dt [/math]
が各 n に対して存在するならば、
[math] F(x) = \int_{x_0}^x f(t)dt [/math]
が存在して、
[math] F(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}a_k\Phi_k(x)\ \ \ (x\to x_0) [/math]
が成立する。
[math]\scriptstyle x_0=\infty[/math] のときは、漸近関数列によっては上式のままではうまくいかない。 例えば、漸近級数が漸近冪級数
[math] f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty}\frac{a_k}{x^{k}}\ \ \ (x\to\infty) [/math]
を持つ場合、
[math] \int_{x}^{\infty}\left(f(t) - a_0 - \frac{a_1}{t}\right)dt \sim \sum_{k=2}^{\infty}\frac{a_k}{(k-1)x^{k-1}}\ \ \ (x\to\infty) [/math]
とする必要がある。
例
スターリングの公式の一般化
[math] \Gamma(x+1) \sim \sqrt{2\pi x}\left(\frac{x}{e}\right)^x \left(1+\frac{1}{12x}+\frac{1}{288x^2}-\frac{139}{51840x^3}-\cdots\right)\ \ \ (x\to\infty) [/math]
という漸近展開を持つ。特に、x が正整数のときは階乗の漸近展開を与え、スターリングの公式よりも精密な近似級数になっている[4]。
誤差関数
[math] \operatorname{erfc}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_x^{\infty} e^{-t^2} dt [/math]
は、以下の様な漸近展開を持つ。
[math] \operatorname{erfc}(x) \sim \frac{e^{-x^2}}{\sqrt{\pi}x}\left(\ 1 - \frac{1}{2x^2} + \frac{1\cdot 3}{2^2x^4} - \frac{1\cdot 3\cdot 5}{2^3x^6} + \cdots\right)\ \ \ (x\to\infty) [/math]
指数積分
[math] \operatorname{Ei}(x) = \int_x^{\infty}\frac{e^{x-t}}{t}dt [/math]
の漸近展開は、
[math] \operatorname{Ei}(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^n n!}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty) [/math]
で与えられる。
ラプラス変換
[math]\scriptstyle f(x)\![/math] を何回でも微分可能な関数としたとき、[math]\scriptstyle f(x)\![/math] のラプラス変換
[math] F(x) = \int_0^{\infty}f(t)e^{-xt}dt [/math]
の漸近展開は、
[math] F(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}f^{(n)}\frac{1}{x^{n+1}}\ \ \ \ (x\to\infty) [/math]
で与えられる。
微分方程式の解
[math] x^2y'' + (3x+1)y' + y = 0 \![/math]
の解は
[math] y(x) = \int_{0}^{\infty}\frac{e^{-t}}{1+xt}dt [/math]
で与えられ、
[math] y(x) \sim \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n n! x^n\ \ \ \ (x\to 0) [/math] 。
という漸近展開を持つ。しかし、上式の右辺は任意の [math]\scriptstyle x\ne 0[/math] で収束しないが[5]、右辺の級数は上記の微分方程式を満たす。
求積法等で厳密解を求めることが出来ない微分方程式に関しても、漸近展開によって近似解を得られる場合があり、これにより解の挙動を調べることができる。
調和級数
調和級数は
- [math]H_n \sim \ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\sum_{k=1}^\infty \frac{B_{2k}}{2k n^{2k}}=\ln{n}+\gamma+\frac{1}{2n}-\frac{1}{12n^2}+\frac{1}{120n^4}-\cdots,[/math]
という漸近展開を持つ。ここで、[math]\gamma[/math]はオイラー・マスケローニ定数、[math]B_{k} [/math]はベルヌーイ数である。
注釈
参考文献
- 大久保, 謙二郎 『漸近展開』 教育出版〈シリーズ新しい応用の数学〉、東京、1976年。ISBN 4316376306。
- ハイラー, E. 『解析教程』上、蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997a。ISBN 4431707506。
- ハイラー, E. 『解析教程』下、蟹江幸博訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、東京、1997b。ISBN 4431707514。
- 柴田, 正和 『漸近級数と特異摂動法: 微分方程式の体系的近似解法』 森北出版、東京、2009年。ISBN 9784627076310。
- 伏見康治「確率論及統計論」第I章 数学的補助手段 3節 漸近展開 ISBN 9784874720127 http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204