Tor関手

ホモロジー代数において、Tor 関手 (英: Tor functor, torsion functor) はテンソル積の関手の導来関手である。それらは最初一般に代数トポロジーにおいてKünnethの定理と普遍係数定理を表現するために定義された。

特に R を環とし、R-Mod で左 R-加群の圏を、Mod-R で右 R-加群の圏を表す。R-Mod の加群 B をひとつ選んで固定する。Mod-R の対象 A に対し、T(A) = A⊗_RB とおく。すると T は Mod-R からアーベル群の圏 Ab への右完全関手である。そして、その左導来関手 L_nT が定義される。

[math]\mathrm{Tor}_n^R(A,B)=(L_nT)(A)[/math]

とおく。すなわち、射影分解

[math]\cdots\longrightarrow P_2 \overset{d_2}{\longrightarrow} P_1 \overset{d_1}{\longrightarrow} P_0 \overset{\varepsilon}{\longrightarrow} A\rightarrow 0[/math]

をとり A の項を取り除き射影分解に B をテンソルして複体

[math]\cdots \longrightarrow P_2\otimes_R B \overset{d_2\otimes1}{\longrightarrow} P_1\otimes_R B \overset{d_1\otimes1}{\longrightarrow} P_0\otimes_R B \longrightarrow 0[/math]

を得る。そしてこの複体のホモロジーをとる。

性質

• すべての n ≥ 1 に対して、Torテンプレート:Su は Mod-R × R-Mod から Ab への加法的関手である。R が可換である場合には、Mod-R × Mod-R から Mod-R への加法的関手である。

• 導来関手のすべての族に対して正しいように、すべての短完全列 0 → K → L → M → 0 は次の形の長完全列を誘導する。

[math]\cdots\rightarrow\mathrm{Tor}_2^R(M,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(K,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(L,B)\rightarrow\mathrm{Tor}_1^R(M,B)\rightarrow K\otimes_R B\rightarrow L\otimes_R B\rightarrow M\otimes_R B\rightarrow 0.[/math]

• R が可換で r ∈ R が零因子でなければ、

[math]\mathrm{Tor}_1^R(R/(r),B)=\{b\in B:rb=0\}[/math]

であり、ここから用語 Tor (すなわち Torsion) が来ている。捩れ部分群参照。

• すべての n ≥ 2 に対して、Torテンプレート:Su(A, B) = 0 である。理由：自由アーベル群の部分群は自由アーベル群なので、すべてのアーベル群 A は長さ1の自由分解をもつから。なのでこの重要な特別な場合には、n ≥ 2 の Tor 関手は消える。さらに、 f : A → A で"k 倍写像"を表すと Torテンプレート:Su(Z/kZ, A) = Ker(f) である。

• さらに、すべての自由加群は長さ0の自由分解をもつので、上記の議論から、F が自由 R-加群であれば、すべての n ≥ 1 に対して Torテンプレート:Su(F, B) = 0。

• Tor 関手はフィルター余極限と任意の直和を保つ。つまり、次の自然同型が存在する。

[math]\mathrm{Tor}_n^R \left (\bigoplus_i A_i, \bigoplus_j B_j \right) \simeq \bigoplus_i \bigoplus_j \mathrm{Tor}_n^R(A_i,B_j).[/math]

• 有限生成アーベル群の分類から、すべての有限生成アーベル群は Z と Z_k のコピーの直和であることを知っている。このことと前の3つから、A が有限生成であるときにはいつでも Torテンプレート:Su(A, B) を計算することができる。

• 加群 M ∈ Mod-R が平坦であることと、Torテンプレート:Su(M, – ) = 0 であることは同値である。このとき、すべての n ≥ 1 に対して Torテンプレート:Su(M, – ) = 0 でさえある。実は、Torテンプレート:Su(A, B) を計算するには、射影分解の代わりに A あるいは B の平坦分解を使ってもよい。

参考文献

• (1994) An Introduction to Homological Algebra, Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press. ISBN 0-521-55987-1. 

関連項目

• Ext関手
• 弱大局次元