普遍係数定理

代数トポロジーにおいて、普遍係数定理（ふへんけいすうていり、英: universal coefficient theorems）はホモロジー論とコホモロジー論の間の関係を確立する。例えば、位相空間 X の整係数ホモロジー論と、任意のアーベル群 A に係数をもつホモロジーは以下のように関連する。整係数ホモロジー群 H_i(X; Z) は群 H_i(X; A) を完全に決定する。ここで H_i は単体的ホモロジーあるいはより一般の特異ホモロジー論でもよい： 結果自体は自由アーベル群のチェイン複体についてのホモロジー代数の純粋な成果である。結果の形は、Tor関手を使うという代償を払って、他の係数 A を使うことができる形である。

例えば A を Z/2Z に取って係数が modulo 2 であるようにすることは一般的である。これはホモロジーに 2-捩れがないことによって straightforward になる。極めて一般的に、結果は X のベッチ数 b_i と体 F に係数をもつベッチ数 b_i,F の間に成り立つ関係を示す。これらは異なるかもしれないが、F の標数がホモロジーに p-捩れがある素数 p であるときのみである。

ホモロジーの場合のステートメント

加群のテンソル積 H_i(X; Z) ⊗ A を考えよう。定理は短完全列

[math] 0 \to H_i(X; \mathbf{Z})\otimes A \overset{\mu}\to H_i(X;A) \to \operatorname{Tor}(H_{i-1}(X; \mathbf{Z}),A)\to 0[/math]

が存在すると述べている。さらに、この列は、自然にではないが、分裂する。ここで μ は双線型写像 H_i(X; Z) × A → H_i(X; A) によって誘導される写像である。

係数環 A が Z/pZ であれば、これはボックシュテイン・スペクトル系列の特別な場合である。

一般に、R を単項イデアル整域とする。L_• を R 加群の鎖複体、M を R 加群とし、任意の i ∈ Z に対して L_i が捩れなし加群であるとする。このとき、任意の i ∈ Z に対して次の完全列が存在する：

[math] 0 \to H_i(L_\bullet)\otimes_R M \to H_i(L_\bullet \otimes_R M) \to \operatorname{Tor}_1^R(H_{i-1}(L_\bullet),M)\to 0.[/math]

さらに、任意の i ∈ Z に対して L_i が自由加群ならばこの完全列は分裂する。

M が平坦加群であれば、Tor の項は現れないことに注意。

コホモロジーに対する普遍係数定理

G を主イデアル整域 R（例えば Z や体）上の加群とする。

Ext関手に関係するコホモロジーに対する普遍係数定理もある。これは自然な短完全列

[math] 0 \to \operatorname{Ext}_R^1(\operatorname{H}_{i-1}(X; R), G) \to H^i(X; G) \overset{h} \to \operatorname{Hom}_R(H_i(X; R), G)\to 0[/math]

が存在することを述べている。ホモロジーの場合のように、列は自然にではないが分裂する。

実際、

[math]H_i(X;G) = \ker \partial_i \otimes G / \operatorname{im}\partial_{i+1} \otimes G[/math]

とし、次のように定義する：

[math]H^*(X; G) = \ker(\operatorname{Hom}(\partial, G)) / \operatorname{im}(\operatorname{Hom}(\partial, G)).[/math]

このとき上の h はカノニカルな写像

[math]h([f])([x]) = f(x).[/math]

である。代替的な視点はアイレンバーグ・マックレーン空間を経由してコホモロジーを表現することに基づくことができる。ここで写像 h は X から K(G, i) への写像のホモトピー類をホモロジーに誘導される対応する写像に写す。したがって、アイレンバーグ・マックレーン空間はホモロジー関手の弱右随伴 (weak right adjoint) である。

例： 実射影空間の mod 2 コホモロジー

X = Pⁿ(R) を実射影空間としよう。R = Z/2Z に係数をもつ X の特異コホモロジーを計算する。

整数ホモロジーは以下で与えられることを知っている：

[math]H_i(X; \mathbf{Z}) = \begin{cases} \mathbf{Z} & i = 0 \text{ or } i = n \text{ odd,}\\ \mathbf{Z}/2\mathbf{Z} & 0\lt i\lt n,\ i\ \text{odd,}\\ 0 & \text{else.} \end{cases}[/math]

Ext(R, R) = R, Ext(Z, R) = 0 なので上の完全列は

[math]\forall i = 0, \cdots, n: \qquad \ H^i (X; R) = R[/math]

を生む。実は全コホモロジー環構造は

[math]H^*(X; R) = R [w] / \left \langle w^{n+1} \right \rangle.[/math]

系

定理の特別な場合は整数コホモロジーを計算する。有限 CW 複体 X に対して、H_i(X; Z) は有限生成であり、したがって以下の分解がある。

[math] H_i(X; \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)}\oplus T_i,[/math]

ただし β_i(X) は X のベッチ数で [math]T_i[/math] は [math]H_i[/math] の捩れ部分である。次をチェックできる。

[math] \operatorname{Hom}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Hom}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Hom}(T_i, \mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)},[/math]

および

[math]\operatorname{Ext}(H_i(X),\mathbf{Z}) \cong \operatorname{Ext}(\mathbf{Z}^{\beta_i(X)},\mathbf{Z}) \oplus \operatorname{Ext}(T_i, \mathbf{Z}) \cong T_i.[/math]

これは整数コホモロジーに対する以下のステートメントを与える：

[math] H^i(X;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}^{\beta_i(X)} \oplus T_{i-1}. [/math]

向き付け可能な閉連結 n-多様体 X に対して、この系はポワンカレ双対と合わせて β_i(X) = β_n−i(X) を与える。

関連項目

• キュネットの定理

参考文献

• Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79540-0. A modern, geometrically flavored introduction to algebraic topology. The book is available free in PDF and PostScript formats on the author's homepage.
• Kainen, P. C. (1971). “Weak Adjoint Functors”. Mathematische Zeitschrift 122: 1–9. doi:10.1007/bf01113560. 
• 『層とホモロジー代数』 共立出版株式会社〈共立講座 数学の魅力5〉、2016年。ISBN 978-4-320-11160-8。

外部リンク

• http://math.stackexchange.com/questions/767864/universal-coefficient-theorem-with-ring-coefficients/768481#768481