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| | {{円周率}} | | {{円周率}} |
| − | '''円周率'''（えんしゅうりつ）は、[[円 (数学)|円]]の[[周長]]の直径に対する比率として定義される[[数学定数]]である。通常、[[ギリシア文字]] {{mvar|[[π]]}}{{refnest|group="注"|古代ギリシア語読み: {{mvar|[[:wikt:en:πεῖ|πεῖ]]}} {{IPA-el|pêː, pi|}}、中世ギリシア語読み: {{mvar|πῖ}} {{IPA-el|piː, pi|}}、現代ギリシア語読み: {{mvar|[[:wikt:en:πι|πι]]}} {{IPA-el|pi|}}。日本語読み: パイ<ref>{{Kotobank|π}}</ref>、ピー<ref>{{Kotobank|Π，π}}</ref><br/>[[ラテン文字]]表記: {{Lang|en|[[:wikt:en:pi|pi]], [[:wikt:en:Pi|Pi]]}} {{IPA-en|pai}}, {{IPA-de|piː}}, {{IPA-fr|pi}}, {{IPA-nl|pi}}}}で表される。[[数学]]をはじめ、[[物理学]]、[[工学]]といった様々な[[科学]]分野に出現し、最も重要な数学定数とも言われる。 | + | '''円周率'''（えんしゅうりつ） |
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| − | 円周率は[[無理数]]であり、その[[小数]]展開は循環しない。円周率は、無理数であるのみならず、[[超越数]]でもある。
| + | 平面上の[[円]]の円周と[[直径]]との比の値。すべての円で等しい。3.14のほか 22/7という数値がよく用いられる。小数点以下 31桁までの値は，3.1415926535897932384626433832795。この値を示すのに記号π（パイ）を用いるようになったのは[[レオンハルト・オイラー]]の著作による。πは[[無理数]]であり，[[超越数]]である。前2000年頃のバビロニア人（[[バビロニア]]）は，円に内接する六角形から 3.125という円周率を算出しており，古代エジプト人は約 3.16045という数値を用いていたことが前1650年頃の[[パピルス]]から明らかになっている。[[アルキメデス]]は円に内接および外接する正多角形（[[多角形]]）から，円周率は 223/71より大きく，22/7より小さいことを導き出した。今日では[[スーパーコンピュータ]]を使って計算されるが，2010年にフランスで通常のコンピュータを使用して計算した約 2兆7000億桁の数値が発表された。 |
| − | | + | |
| − | 円周率の計算において功績のあった[[ルドルフ・ファン・コーレン]]に因み、ルドルフ数とも呼ばれる。ルドルフは、小数点以下35桁までを計算した<ref>{{Cite book |和書 |author1={{仮リンク|Alfred S.Posamentier|en|Alfred S.Posamentier}} |author2=[[Ingmar Lehmann]] |translator=松浦俊輔 |title=不思議な数πの伝記 |pages=62, 63 |publisher=日経BP}}</ref>。小数点以下35桁までの値は次の通りである。<!-- 35桁くらいまでが実用的で、ルドルフによる計算の結果という歴史的な意味もある桁数です。大した意味もなくこの桁数を伸ばさないようにしてください。 -->
| + | {{テンプレート:20180815sk}} |
| − | :{{math2|''π'' {{=}} 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 …}}
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| − | == 基礎 ==
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| − | === 表記と呼び方 ===
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| − | 円周率を表す[[ギリシア文字]] {{mvar|[[π]]}} は、[[ギリシア語]] {{Lang|el|'''π'''ερίμετρος}}{{sfn|日本数学会|2007|pp=94–95}}<ref name="Boeing">{{cite journal
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| − | |last = Boeing
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| − | |first = Niels
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| − | |date = 14 March 2016
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| − | |url = http://www.zeit.de/zeit-wissen/2016/02/pi-tag-mathematik-pi-kreiszahl
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| − | |title = Die Welt ist Pi
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| − | |language = de
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| − | |journal = Zeit Online
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| − | }}</ref><ref name="kotobank">[https://kotobank.jp/word/%E5%86%86%E5%91%A8%E7%8E%87-38162 「円周率」 - 世界大百科事典 第2版（コトバンク）]</ref>（ペリメトロス）あるいは {{Lang|el|'''π'''εριφέρεια}}<ref>Simon Singh [https://books.google.co.jp/books?id=uYs-AAAAQBAJ&pg=PT30 The Simpsons and Their Mathematical Secrets]</ref>（ペリペレイア）の[[頭文字]]から取られた{{refnest|group="注"|ただし、これは明らかな根拠がない話であり、適切に表現すれば定まらないというのが正しい、という主張も見られる<ref name ="πの文字使用について">[http://xn--w6q13e505b.jp/define/pi.html {{mvar|π}} の文字使用について]</ref>。}}。いずれも周辺・円周・周などを意味する。文字 {{mvar|π}} を[[ウィリアム・オートレッド]]は[[1631年]]に著した著書において半円の円弧部分の長さを表す文字として用い、[[アイザック・バロー]]は論文において半径 {{mvar|R}} の円周の長さとして用いた<ref name ="πの文字使用について"/>。{{仮リンク|ウィリアム・ジョーンズ (数学者)|en|William Jones (mathematician)|label=ウィリアム・ジョーンズ}} (1706) や[[レオンハルト・オイラー]]らにより（現代と同じく）円周の直径に対する比率を表す記号として用いられ、それが広まった{{sfn|日本数学会|2007|pp=94–95}}<ref name="Boeing" /><ref name ="πの文字使用について"/>。[[日本]]では「パイ」と発音する。
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| − | 数 {{mvar|π}} を指す言葉には、日本・中国・韓国における「円周率（圓周率）」、ドイツの「Kreiszahl」（Kreis は円（周）、Zahl は数の意）の他、それを計算した人物の名前を取った「[[アルキメデス]]数」（{{Lang-en-short|Archimedes' constant}}）、「[[ルドルフ・ファン・コーレン|ルドルフ]]数」（{{Lang-en-short|Ludolph's constant}}、{{Lang-de-short|Ludolphsche Zahl}}）などがある。一般にドイツ語を除いたヨーロッパの諸言語には「円周率」に対応する単語はない<ref name="kotobank" /><ref name="解析入門I">{{Cite book|和書|last = 杉浦|first=光夫|title = 解析入門I|year = 1980|page= 185|isbn= 4130620053|publisher = 東京大学出版会}}</ref>。
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| − | | |
| − | なお、「{{mvar|π}}」の字体は、表示環境によっては[[キリル文字]]の [[П|{{lang|ru|п}}]] に近い {{Lang|el|π}} などと表示されることがある。
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| − | | |
| − | また、文字「{{mvar|π}}」は、数学では他に[[素数計数関数]]や[[基本群]]・[[ホモトピー群]]にも用いられる。またある種の[[写像]]を表すときにも慣習的に用いられる。
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| − | === 定義 ===
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| − | [[画像:Pi-unrolled-720.gif|250px|right|thumb| 直径 {{math|1}} の円の周長は {{mvar|π}}]]
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| − | [[ユークリッド幾何学|平面幾何学]]において、円周率 {{mvar|π}} は、[[円 (数学)|円]]の[[周長]]の直径に対する比率として定義される。すなわち、円の周長を {{mvar|C}}, 直径を {{mvar|d}} としたとき、
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| − | :{{math|1=''π'' = {{sfrac|''C''|''d''}}}}
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| − | である。全ての円は互いに[[図形の相似|相似]]なので、この比率は円の大きさに依らず一定である。
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| − | | |
| − | ところが、この定義は円の周長を用いているため、[[弧長|曲線の長さ]]を最初に定義していない[[解析学]]などの分野では、{{mvar|π}} が現れる際に問題となることがある。この場合、円の周長に言及せず、解析学などにおける性質の一つを {{mvar|π}} の定義とすることが多い{{sfn|Rudin|1976|p=183}}。この際の {{mvar|π}} の定義の一般なものとして、[[三角関数]] {{math|cos ''x''}} が {{math|0}} を取るような {{math|''x'' > 0}} の最小値の2倍とするもの、[[級数]]による定義、[[積分|定積分]]による定義などがある。後述の[[#円周率に関する式]]も参照。
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| − | | |
| − | == 歴史 ==
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| − | {{See also|円周率の歴史}}
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| − | {{multiple image
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| − | |direction = vertical
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| − | |width = 180
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| − | |image1 = Cutcircle2.svg
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| − | |caption1 = 円に内接する正多角形による {{mvar|π}} の近似
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| − | |image2 = Archimedes pi.svg
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| − | |caption2 = 円に内接・外接する正多角形による {{mvar|π}} の近似。アルキメデスによる計算。
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| − | }}
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| − | === 古代 ===
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| − | 円周の直径に対する比率が円の大きさに依らず一定であり、それが [[3]] より少し大きい程度だということは[[古代エジプト]]や[[バビロニア]]、[[古代インド|インド]]、[[古代ギリシア|ギリシア]]の幾何学者たちにはすでに知られていた。また、古代インドやギリシアの数学者たちの間では半径 {{mvar|r}} の円板の面積が {{math|π''r''{{sup|2}}}} であることも知られていた。さらに、[[アルキメデス]]は正{{math|96}}角形<!--サイエンス・クエスト 科学の冒険 宇宙の生命、死の意味、数の世界 著者： アイリックニュート-->を用いて半径 {{mvar|r}} の[[球体|球]]の体積が {{math|{{sfrac|4|3}}''πr''{{sup|3}}}} であることや、この球の[[表面積]]が {{math|4π''r''{{sup|2}}}}（その球の大円による切り口の面積の4倍）であることを導き出し、約1000年後、祖沖之（五世紀、中国）が小数点以下第6位まで弾き出した。
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| − | === 2千年紀 ===
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| − | [[14世紀]][[インド]]の[[数学者]]・[[天文学者]]であるサンガマグラーマの[[マーダヴァ]]は次のような {{mvar|π}} の[[級数]]表示を見いだしている（[[ライプニッツの公式]]）：
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| − | :<math>\frac{\pi}{4} =1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\cdots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}.</math>
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| − | これは[[逆正接関数]] {{math|Arctan ''x''}} の[[テイラー展開]]の {{math|''x'' {{=}} 1}} での実現になっている。マーダヴァはまた、
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| − | :<math>\pi =\sqrt{12} \left( 1-\frac{1}{3\cdot 3} +\frac{1}{5\cdot 3^2} -\frac{1}{7\cdot 3^3} +\cdots \right)</math>
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| − | を用いて {{mvar|π}} の値を小数点以下11桁まで求めている。
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| − | 17世紀。ドイツのルドルフ・ファン・コイレンが{{math|325}}億角形を使い、小数点以下第35位まで計算。1699年（または1706年）にエイブラハム・シャープが小数点以下第72～127位まで求めた。
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| − | [[18世紀]][[フランス]]の数学者[[アブラーム・ド・モアブル]]は、コインを {{math|2''n''}} 回投げたときに表が {{mvar|x}} 回出る[[確率]]は、{{mvar|n}} が十分大きいとき、ある定数 {{mvar|C}} を取ると、
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| − | :<math>\frac{C}{\sqrt{n}} \exp \left\{ -\frac{(x-n)^2}{n} \right\}</math>
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| − | で[[近似]]できることを、{{math|1=''n'' = 900}} における数値計算により見いだした。この[[正規分布]]の概念は[[1738年]]に出版されたド・モアブルの『巡り合わせの理論』に現れている。ド・モアブルの友人のジェイムズ・スターリングは後に、{{math|''C'' {{=}} 1/{{sqrt|2{{pi}}}}}} であることを示した。<!--モンテ・カルロ法は？-->
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| − | | |
| − | [[1751年]]に[[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト]]は、{{mvar|x}} が {{math|0}} でない[[有理数]]ならば[[正接関数]] {{math|tan ''x''}} の値は無理数であることを示し、その系として {{mvar|π}} は無理数であることを導いた。さらに[[1882年]]に[[フェルディナント・フォン・リンデマン]]は {{mvar|π}} が超越数であることを示し、[[円積問題]]（与えられた長さを半径とする円と等積の[[正方形]]を[[定規とコンパスによる作図|作図]]する問題）は解くことができないことを導いた。
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| − | 1873年、ウィリアム・シャンクスが小数点以下第707位まで計算（ただし途中<!--小数点以下第527位-->で計算ミス）。
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| − | === コンピュータによる計算の時代 ===
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| − | [[20世紀]]以降、[[コンピュータ]]の発達により、計算された円周率の桁数は飛躍的に増大した。[[1949年]]に、[[ジョン・フォン・ノイマン]]はコンピュータ [[ENIAC]] を使い72時間かけて、円周率を2037桁まで計算した<ref>"An {ENIAC} Determination of pi and e to more than 2000 Decimal Places", Mathematical Tables and Other Aids to Computation, 4 (29), pp. 11–15. (January, 1950)</ref>。その後の数十年間、さまざまな[[計算機科学]]者によって計算は進められ、[[1973年]]には100万桁を超えた。この進歩は、[[スーパーコンピュータ]]の開発だけによるものではなく、効率のよい[[アルゴリズム]]が考案されたためである。そのうちの最も重要な発見の一つとして、[[1960年代]]の[[高速フーリエ変換]]がある。これにより、多倍長の演算が高速に実行できるようになった。
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| − | | |
| − | [[2016年]]の時点では、円周率は小数点以下22[[兆]]4591[[億]]5771[[万]]8361桁まで計算されている<ref>{{Cite news
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| − | |url = http://www.numberworld.org/y-cruncher/
| |
| − | |title = y-cruncher - A Multi-Threaded Pi-Program
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| − | |accessdate = 2016-12-24
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| − | }}</ref>。
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| − | | |
| − | == 性質 ==
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| − | === 無理性 ===
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| − | {{main2|円周率は無理数であることの証明|円周率の無理性の証明|}}
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| − | {{mvar|π}} は[[無理数]]である。つまり、2つの整数の商で表すことはできず、小数展開は循環しない。このことは[[1761年]]に[[ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト]]が証明したが、厳密性に欠けた部分があった。その部分は[[1806年]]に[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]によって補われた。
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| − | | |
| − | したがって、円周率の[[コンピュータ]]による計算や[[暗唱]]、[[10進法]]における各数字 (0, 1, …, 9) の出現頻度は、興味の対象となる。
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| − | | |
| − | === 超越性 ===
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| − | {{main2|円周率は超越数であることの証明|リンデマンの定理}}
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| − | さらに、{{mvar|π}} は[[超越数]]である。つまり、[[有理数]]係数の[[代数方程式]]の根とはならない。これは[[1882年]]に[[フェルディナント・フォン・リンデマン]]によって証明された（[[リンデマンの定理]]）。特に、[[整数]]から[[四則演算]]と[[冪根]]をとる操作だけを有限回組み合わせて {{mvar|π}} の正確な値を求めることはできないことが分かる。
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| − | | |
| − | {{mvar|π}} が超越数であることより、[[古代ギリシア]]の三大作図問題の内の一つ「[[円積問題]]」（与えられた長さを半径とする円と等積の正方形を[[定規とコンパスによる作図|作図]]すること）が不可能であることが従う。
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| − | | |
| − | === ランダム性 ===
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| − | {{mvar|π}} は現在小数点以下10兆桁を超える桁まで計算されている。そして、分かっている限りでは 0 から 9 までの数字が[[ランダム]]に現れているようには見えるが、はっきりと[[乱数列]]であるか否かは実は分かっていない。たとえば {{mvar|π}} が[[正規数]]であるかどうかも分かっていない。正規数であれば {{mvar|π}} の[[十進法|10進表示]]において、各桁を順に取り出して得られる[[数列]]：
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| − | :3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, …（{{OEIS|A796}}）
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| − | には、0 から 9 が均等に現れるはずだが分かっておらず、それどころか、0 から 9 がそれぞれ無数に現れるのかどうかすら分かっていない。もし仮に正規数でないとすれば、乱数列でもないということになる。<!--
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| − | | |
| − | ベイリーとクランドールの[[2000年]]の発表によると、[[ベイリー＝ボールウィン＝プラウフ]]の式を用いて[[二進法|2進表示]]で様々な桁の計算をした結果では、各数字の出現率は[[カオス理論]]に基づいていると推測できるようである。
| |
| − | --><!--「カオス理論に基づいている」ならば、「円周率自体を求める計算をしなくても、どんどんその先の桁の数が得られる決定論的法則が存在する」というものすごい画期的な話になってしまうと思うので、（この説明は）どこかがおかしいのでは？-->
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| − | | |
| − | 5兆桁までの数字の出現回数は以下の通りである。全てほぼ等しく（約0.0005%の違いに収まる）、最も多いのは '''8''' で、最も少ないのは '''6''' である。
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| − | <div style="float:left;vertical-align:top;margin-right:1em">
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| − | : '''0'''：4999億9897万6328回
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| − | : '''1'''：4999億9996万6055回
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| − | : '''2'''：5000億0070万5108回
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| − | : '''3'''：5000億0015万1332回
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| − | : '''4'''：5000億0026万8680回
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| − | </div><div style="float:left;vertical-align:top;margin-right:1em">
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| − | : '''5'''：4999億9949万4448回
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| − | : '''6'''：4999億9893万6471回
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| − | : '''7'''：5000億0000万4756回
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| − | : '''8'''：5000億0121万8003回
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| − | : '''9'''：5000億0027万8819回
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| − | </div>{{clear|left}}
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| − | | |
| − | == 未解決問題 ==
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| − | * 次の数は[[超越数]]か？
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| − | ::<math>\pi \pm e,\pi e,\frac{\pi}{e} ,\pi^\pi ,\pi^e ,\pi^\sqrt{2} ,e^{{\pi}^2}.</math>
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| − | * {{mvar|π}} は[[正規数]]か？
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| − | | |
| − | == 円周率に関する式 ==
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| − | {{mvar|π}} についての式は非常に多い。ここではその一部を紹介する。数式によってはそれ自体が {{mvar|π}} の定義になり得るし、{{mvar|π}} の[[近似値]]の計算などにも使われてきた。
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| − | | |
| − | === 幾何 ===
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| − | * 半径 {{mvar|r}} の[[円 (数学)|円]]の[[周長]]： {{math|2''πr''}}
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| − | * 半径 {{mvar|r}} の円の[[面積]]：{{math|''πr''{{sup|2}}}}
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| − | * 半径 {{mvar|r}} の[[球体|球]]の[[体積]]：{{math|{{sfrac|4|3}}''πr''{{sup|3}}}}
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| − | * 半径 {{mvar|r}} の球の[[表面積]]：{{math|4''πr''{{sup|2}}}}
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| − | * 長半径 {{mvar|a}}, 短半径 {{mvar|b}} の[[楕円]]の面積：{{mvar|πab}}
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| − | * {{math|180° {{=}} ''π''}} [[ラジアン]]
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| − | | |
| − | === 解析 ===
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| − | * <math>\frac{\pi}{4} =1-\frac{1}{3} +\frac{1}{5} -\frac{1}{7} +\cdots =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1}</math> （[[ライプニッツの公式]]、[[#2千年紀]]も参照）
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| − | * <math>\pi =\sqrt{12} \left( 1-\frac{1}{3\cdot 3} +\frac{1}{5\cdot 3^2} -\frac{1}{7\cdot 3^3} +\cdots \right)</math> （[[#2千年紀]]も参照）
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| − | * <math>\frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots =\frac{\pi}{2}</math> （[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]）
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| − | * <math>\zeta (2)=\frac{1}{1^2} +\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2} +\frac{1}{4^2} +\cdots =\frac{\pi^2}{6}</math> （[[1735年]]：[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]、[[バーゼル問題]]、[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]]）
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| − | * <math>\zeta (4)=\frac{1}{1^4} +\frac{1}{2^4} +\frac{1}{3^4} +\frac{1}{4^4} +\cdots =\frac{\pi^4}{90}</math>
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| − | * <math>\frac{\pi^2}{6} =\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{{n^2}2^{n-1}} +(\log 2)^2</math> （[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]）
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| − | * <math>\zeta (2n)=\frac{(-1)^{n-1} 2^{2n-1} B_{2n}}{(2n)!} \pi^{2n} \ (n\in \mathbb{N})</math> （{{mvar|B{{sub|n}}}} は[[ベルヌーイ数]]）
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| − | * <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx=\sqrt{\pi}</math> （[[ガウス積分]]）
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| − | * <math>\Gamma \biggl( \frac{1}{2} \biggr) =\sqrt{\pi}</math> （[[ガンマ関数]]）
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| − | * <math>\pi =2\int_0^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}</math> {{Sfn|黒田|2002|p=176}}
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| − | * <math>\pi =\int_{-1}^1 \frac{dt}{\sqrt{1-t^2}}</math>
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| − | * <math>\pi =2\int_{-1}^1 \sqrt{1-t^2} \, dt</math>
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| − | * <math>\pi =4\int_0^1 \frac{dt}{1+t^2}</math>
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| − | * [[逆三角関数]]は[[主値]]を取るものとすると
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \pi &=2\arccos 0\\
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| − | &=2\arcsin 1\\
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| − | &=4\arctan 1.
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| − | \end{align}</math>
| |
| − | *逆三角関数（逆正弦関数）の公式より
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \pi &=2\sum_{n=0}^\infty \frac{(2n-1)!!}{(2n+1)(2n)!!} \\
| |
| − | &= 2\, {}_2 F_1 \bigl( \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{2} ;\tfrac{3}{2} ;1\bigr)
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| − | \end{align}</math>
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| − | *逆三角関数（逆正接関数）の公式より
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| − | :<math>\begin{align}
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| − | \pi &=4\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2n+1}\\
| |
| − | &=4\, {}_2F_1\bigl( \tfrac{1}{2} ,1;\tfrac{3}{2} ;-1\bigr)\\
| |
| − | &=2\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{n!}{(2n+1)!!} \\
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| − | &=\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{2^{n+1} n!^2}{(2n+1)!} \\
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| − | &=\sum_{n=0}^{\infty} \cfrac{2^{n+1}}{\binom{2n}{n} (2n+1)}
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| − | \end{align}</math>
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| − | * [[ガウス＝ルジャンドルのアルゴリズム]]
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| − | :: 初期値の設定：
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| − | ::: <math>a_0 =1,\quad b_0 =\frac{1}{\sqrt{2}} ,\quad t_0 =\frac{1}{4} ,\quad p_0 =1.</math>
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| − | :: 反復式：{{mvar|a{{sub|n}}}}, {{mvar|b{{sub|n}}}} が希望する桁数になるまで以下の計算を繰り返す。小数第 {{mvar|n}} 位まで求めるとき {{math|log{{sub|2}} ''n''}} 回程度の反復でよい。
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| − | ::: <math>\begin{align}
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| − | a_{n+1} &=\frac{a_n + b_n}{2}, \\
| |
| − | b_{n+1} &=\sqrt{a_n b_n}, \\
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| − | t_{n+1} &=t_n -p_n (a_n -a_{n+1})^2, \\
| |
| − | p_{n+1} &=2p_n.
| |
| − | \end{align}</math>
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| − | :: {{mvar|π}} の算出：円周率 {{mvar|π}} は、{{mvar|a{{sub|n}}}}, {{mvar|b{{sub|n}}}}, {{mvar|t{{sub|n}}}} を用いて以下のように近似される。
| |
| − | ::: <math>\pi \approx \frac{(a_n+b_n)^2}{4t_n}.</math>
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| − | :::: 非常に収束が早く<ref group="注">3回の反復で小数18位まで求めることができる</ref>、[[金田康正]]が1995年に42億桁、2002年に1.24兆桁を計算した[[スーパーπ|スーパー {{mvar|π}}]] に使われていた。
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| − | * <math>n!\sim \sqrt{2\pi n} \left( \frac{n}{e} \right)^n</math> （[[スターリングの近似]]。{{math|''f''(''n'') ∼ ''g''(''n'')}} は <math>\lim_{n\to \infty} f(n)/g(n)=1</math> を表す）
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| − | * <math>\sum_{k=1}^n \phi (k)\sim \frac{3n^2}{\pi^2}</math> （{{math|''φ''(''k'')}} は[[オイラーのφ関数]]）
| |
| − | * {{math|''e{{sup|πi}}'' + 1 {{=}} 0}} （[[オイラーの等式]]）
| |
| − | : <math>\sum_{k=0}^{n-1} e^{2\pi ik/n} =0</math> （オイラーの等式の一般式）
| |
| − | : 後者は {{math|2}} 以上の任意の整数 {{mvar|n}} に対して成り立ち、{{math|1}} の {{mvar|n}} 乗根全ての和は {{math|0}} であることを意味している。{{math|''n'' {{=}} 2}} とするとオイラーの等式を得る。
| |
| − | * <math>\frac{1}{\pi} =\frac{2\sqrt{2}}{99^2} \sum_{n=0}^\infty \frac{(4n)!(1103+26390n)}{(4^n 99^n n!)^4}</math> （[[シュリニヴァーサ・ラマヌジャン|ラマヌジャン]]）
| |
| − | * <math>\frac{4}{\pi} =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (4n)!(1123+21460n)}{882^{2n+1} (4^n n!)^4}</math> （ラマヌジャン）
| |
| − | * <math>\sqrt{\frac{1}{2}} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2} +\frac{1}{2} \sqrt{\frac{1}{2}}}} \cdots =\frac{2}{\pi}</math> （[[フランソワ・ビエト|ビエト]]）
| |
| − | * <math>4\arctan \frac{1}{5} -\arctan \frac{1}{239} =\frac{\pi}{4}</math> （[[マチンの公式|マチン]]、1709年）
| |
| − | : ただし {{math|arctan ''x''}} は[[主値]]
| |
| − | ::: <math>-\frac{\pi}{2} <\arctan x<\frac{\pi}{2}</math>
| |
| − | : を取るものとする。
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| − | :: <math>4\arccot 5-\arccot 239=\frac{\pi}{4}</math>
| |
| − | : と書かれることもある。{{math|4}} と {{math|{{sfrac|1|4}}}} が[[二進法]]と相性がよく、収束も早いため、コンピュータでの円周率計算によく使われる公式の一つである。
| |
| − | * {{math|{{sfrac|4|''π''}}}} の[[連分数]]表示：
| |
| − | : <math>
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| − | \frac{4}{\pi} =1+
| |
| − | \cfrac{1}{3+ | |
| − | \cfrac{4}{5+
| |
| − | \cfrac{9}{7+
| |
| − | \cfrac{16}{9+
| |
| − | \cfrac{25}{11+
| |
| − | \cfrac{36}{13+
| |
| − | \cfrac{49}{\ddots}}}}}}}
| |
| − | </math>
| |
| − | * <math>\frac{1}{\pi} =\frac{12}{\sqrt{640320^3}} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!n!^3 \times 640320^{3n}}</math> （チュドノフスキー）
| |
| − | : （各項の素因数分解：
| |
| − | :: {{math|13591409 {{=}} 13 × 1045493,}}
| |
| − | :: {{math|545140134 {{=}} 2 × 3{{sup|2}} × 7 × 11 × 19 × 127 × 163,}}
| |
| − | :: {{math|640320 {{=}} 2{{sup|6}} × 3 × 5 × 23 × 29.}}）
| |
| − | * <math>\pi =426880\sqrt{10005} \left\{ \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n (6n)!(13591409+545140134n)}{(3n)!n!^3 \times 640320^{3n} } \right\}^{-1}</math> （チュドノフスキー）
| |
| − | * <math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{2^{4n}} \left(\frac{2^2}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6} \right)</math> （David Bailey, Peter Borwein and Simon Plouffe、俗称“BBP”）
| |
| − | * <math>\pi =\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{2n}} \left(\frac{2}{4n+1}+\frac{2}{4n+2}+\frac{1}{4n+3} \right)</math> (Adamchik and Wagon)
| |
| − | * <math>\pi =\frac{1}{2^6} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{2^{10n}} \left(-\frac{2^{5}}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{2^{8}}{10n+1}-\frac{2^{6}}{10n+3}-\frac{2^{2}}{10n+5}-\frac{2^{2}}{10n+7}+\frac{1}{10n+9} \right)</math> (Fabrice Bellard)<ref>[http://bellard.org/pi/pi_bin.pdf A new formula to compute the n'th binary digit of pi - Fabrice Bellard]</ref><ref>[http://www.pluto.ai.kyutech.ac.jp/~matumoto/dvi/pi.pdf 円周率の公式集 暫定版 V er:3.141 - 松元隆二]</ref>
| |
| − | | |
| − | === 数論 ===
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| − | * [[整数]]全体から無作為に2つ取り出すとき、その2つが[[互いに素]]である確率は {{math|6/''π''{{sup|2}}}} である（[[互いに素#互いに素である確率]]を参照）。
| |
| − | | |
| − | === 力学系・エルゴード理論 ===
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| − | ロジスティック写像 {{math|1=''x''{{sub|''i''+1}} = 4''x{{sub|i}}''(1 − ''x{{sub|i}}'')}} により帰納的に定まる[[数列]] {{math|{{(}}''x{{sub|i}}''{{)}}}} を考える。初期値 {{math|''x''{{sub|0}}}} を {{math|0}} 以上 {{math|1}} 以下に取るとき、その[[ほとんど (数学)|ほとんど全て]]で、次が成り立つ。
| |
| − | * <math>\lim_{n\to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \sqrt{x_i} =\frac{2}{\pi}.</math>
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| − | | |
| − | === 統計 ===
| |
| − | * <math>f(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} \, \exp \biggl[ -\frac{(x-\mu )^2}{2\sigma^2} \biggr]</math> （[[正規分布]]の[[確率密度関数]]）
| |
| − | * 幅 {{math|1}} の無数の[[平行]]線の上から長さ {{math|{{sfrac|1|2}}}} の針を落とすとき、その針が直線と共有点を持つ確率は {{math|{{sfrac|1|''π''}}}} である（[[ビュフォンの針]]）。
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| − | | |
| − | === その他 ===
| |
| − | * [[川|河川]]の長さの[[水源]]・[[河口]]間の直線距離に対する比率は、平均すると円周率に近い<ref>[[サイモン・シン]]著、青木薫訳、『フェルマーの最終定理』、新潮社、2000年、ISBN 4-10-539301-4、42ページ</ref>。
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| − | | |
| − | == 暗唱 ==
| |
| − | === 語呂合わせ ===
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| − | {{main|{{仮リンク|Piphilology|en|Piphilology}}}}
| |
| − | {{mvar|π}} の桁を[[記憶術]]に頼らずに[[暗記]]する方法が各種存在している。
| |
| − | | |
| − | 日本語では、[[語呂合わせ]]により、長い桁を暗記するのも比較的簡単である。有名なものとして、以下がある。
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| − | {{quote|産医師異国ニ向コー、産後厄無ク産婦御社ニ虫サンザン闇ニ鳴ク|[[マーティン・ガードナー]]著、金沢養訳|『現代の娯楽数学 新しいパズル・マジック・ゲーム』(白揚社、1960年)144頁}}
| |
| − | {|border=0 cellpadding=0 cellspacing=0 style="text-align:center"
| |
| − | |（||産||医||師||異||国||に||向||かう||産||後||厄||な||く||産||婦||み||や||し||ろ||に||虫||さん||ざん||闇||に||鳴||く||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||3.||1||4||1||59||2||6||5||3||5||89||7||9||3||2||3||8||4||6||2||64||3||3||83||2||7||9||（30桁））
| |
| − | |}
| |
| − | [[英語圏]]では語呂合わせがうまくいかないため、[[語|単語]]の文字数で覚える方法がある。
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| − | {|border=0 cellpadding=0 cellspacing=5 style="text-align:center"
| |
| − | |-style="font-style:italic"
| |
| − | |Yes,||I||have||a||number.||
| |
| − | |-
| |
| − | |3.||1||4||1||6||（小数点以下4桁までで四捨五入）
| |
| − | |}
| |
| − | {|border=0 cellpadding=0 cellspacing=5 style="text-align:center"
| |
| − | |-style="font-style:italic"
| |
| − | |Can||I||find||a||trick||recalling||Pi||easily?||
| |
| − | |-
| |
| − | |3.||1||4||1||5||9||2||6||（7桁、また「{{mvar|π}} を簡単に思い出せるトリックってある？」という文章自体がその質問の答えにもなっている）
| |
| − | |}
| |
| − | {|border=0 cellpadding=0 cellspacing=5 style="text-align:center"
| |
| − | |-style="font-style:italic"
| |
| − | |How||I||want||a||drink,||alcoholic||of||course,||after||the||heavy||lectures||involving||quantum||mechanics!||
| |
| − | |-
| |
| − | |3.||1||4||1||5||9||2||6||5||3||5||8||9||7||9||（14桁）
| |
| − | |}
| |
| − | {|border=0 cellpadding=0 cellspacing=5 style="text-align:center"
| |
| − | |-style="font-style:italic"
| |
| − | |And||if||the||lectures||were||boring||or||tiring,||then||any||odd||thinking||was||on||quartic||equations||again.||
| |
| − | |-
| |
| − | |3||2||3||8||4||6||2||6||4||3||3||8||3||2||7||9||5||（上に続けて、31桁）S. ボトムリー
| |
| − | |}
| |
| − | これらのような覚え方は多くあり、日本語では上記のものの改編で90桁までのものや、歌に合わせたもの、数値を文字に置き換えて1,000桁近く覚える方法などがある。
| |
| − | | |
| − | === 暗唱記録 ===
| |
| − | [[2004年]][[9月25日]]、[[原口證]]が8時間45分かけて円周率5万4000桁の暗唱に成功し、従来の世界記録を更新した。しかしながら、実際はより多くの桁を覚えていたため、[[2005年]][[7月1日]] - [[7月2日]]に再挑戦し、8万3431桁までの暗唱に成功した。[[2006年]][[10月3日]]午前9時 - [[10月4日]]午前1時30分（16時間30分）の挑戦で円周率10万桁の暗唱に成功した。原口はこれをギネス世界記録に申請したが、2017年現在に至るまで認定されていない。
| |
| − | | |
| − | 『[[ギネス世界記録]]』によれば、円周率暗唱の世界記録は[[2015年]][[10月21日]]に7万30桁を暗唱したインド人、スレシュ・クマール・シャルマ (Suresh Kumar Sharma) が記録したものである<ref>[http://www.pi-world-ranking-list.com/index.php?page=lists&category=pi&sort=digits Pi World Ranking List] 2017年1月13日回覧。</ref>。
| |
| − | | |
| − | == 文化的影響 ==
| |
| − | {{節スタブ}}
| |
| − | [[画像:Matheon2.jpg|200px|thumb|right|[[ベルリン工科大学]]数学科の近くにあるタイル]]
| |
| − | [[円 (数学)|円]]という日常でもよく知られた図形についての単純な定義でありながら、小数部分が無限に続くという不思議さから、数学における概念の中で最もよく知られたものの一つである。
| |
| − | * [[3月14日]]は[[円周率の日]]および数学の日である。小数点以下が「永遠に続く」という意味にあやかり、3月14日に結婚するカップルもいる<ref>[http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20140316-00000083-spnannex-ent 安田美沙子3・14結婚は『円周率＝永遠』の意味だった] {{webarchive|url=https://web.archive.org/web/20140316135518/http://headlines.yahoo.co.jp/hl?a=20140316-00000083-spnannex-ent |date=2014年3月16日 }}スポニチアネックス 2014年3月16日(日)12時17分配信</ref>。また[[7月22日]]は円周率近似値の日とされている（{{math|22/7}} は円周率の近似値）。
| |
| − | * [[2012年]][[8月14日]]、米国勢調査局が、米国の人口が円周率と同じ並びの3億1415万9265人に達したと発表した。アメリカには円周率の曲を作る人もいる<ref>[http://www.cnn.co.jp/usa/35020467.html 米国の人口が円周率と「同じ」に 3億1415万9265人] CNN 2012.08.15 Wed posted at 12:42 JST</ref>。
| |
| − | * 組版処理ソフトウェア [[TeX|{{TeX}}]] のバージョン番号は、3.14, 3.141, 3.1415, … というように、更新のたびに円周率に近づいていくように一桁ずつ増やされる。
| |
| − | | |
| − | == 値 ==
| |
| − | 小数点以下1000桁までの値<ref>{{Cite book|和書 |author=牧野貴樹 |title=円周率10000.00桁表 |publisher=暗黒通信団 |isbn=978-4-87310-037-1}}</ref>
| |
| − | | |
| − | {{mvar|π}} = 3.<br/>14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235 42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881 71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303 59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778 18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 …
| |
| − | | |
| − | == 注釈 ==
| |
| − | {{Reflist|group="注"}}
| |
| − | | |
| − | == 出典 ==
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| − | {{Reflist}}
| |
| − | | |
| − | == 参考文献 ==
| |
| − | {{参照方法|date=2016年1月|section=1}}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |author = [[上野健爾]]
| |
| − | |title = 円周率 {{mvar|π}} をめぐって
| |
| − | |publisher = 日本評論社
| |
| − | |id = ISBN 4-535-60840-7
| |
| − | |year = 1999
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |last = 黒田
| |
| − | |first = 成俊
| |
| − | |authorlink = 黒田成俊
| |
| − | |title = 微分積分
| |
| − | |year = 2002
| |
| − | |publisher = 共立出版
| |
| − | |isbn = 978-4320015531
| |
| − | |series = 共立講座21世紀の数学 第1巻
| |
| − | |ref = harv
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book|和書
| |
| − | |editor = [[日本数学会]]
| |
| − | |year = 2007
| |
| − | |title = 数学辞典
| |
| − | |edition = 第4版
| |
| − | |publisher = [[岩波書店]]
| |
| − | |isbn = 978-4-00-080309-0
| |
| − | |ref = harv
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book
| |
| − | |last = Berggren
| |
| − | |first = Lennart
| |
| − | |coauthors = Borwein, Jonathan and Borwein, Peter
| |
| − | |title = Pi: A Source Book
| |
| − | |publisher = Springer-Verlag
| |
| − | |id = ISBN 0-387-94924-0
| |
| − | |year = 1991
| |
| − | }}
| |
| − | *{{Cite book
| |
| − | |last = Rudin
| |
| − | |first = Walter
| |
| − | |authorlink = Walter Rudin
| |
| − | |title = Principles of Mathematical Analysis
| |
| − | |edition = 3e
| |
| − | |year = 1976
| |
| − | |origyear = 1953
| |
| − | |publisher = McGraw-Hill
| |
| − | |isbn = 0-07-054235-X
| |
| − | |ref = harv
| |
| − | }}
| |
| − | | |
| − | == 関連する書籍（和書、洋書） ==
| |
| − | * 堀場 芳数:「円周率πの不思議―アルキメデスからコンピュータまで」、講談社 (ブルーバックス)、ISBN 978-4061327979（1989年10月17日）。
| |
| − | * 金田康正：「π(パイ)のはなし」、東京図書、ISBN 978-4489003387 (1991年4月1日)。
| |
| − | * 猪口和則：「πの公式をデザインする」、新風舎、ISBN 4-7974-0493-0（1998年1月9日）。
| |
| − | *上野健爾:「円周率πをめぐって」、日本評論社、ISBN 978-4535608405 (1999年3月)。
| |
| − | * ジャン=ポール･ドゥラエ、畑政義（訳）：「π‐魅惑の数」、朝倉書店、ISBN 978-4254110869 (2001年10月1日）。
| |
| − | * ペートル ベックマン、田尾陽一（訳）：「πの歴史」、筑摩書房 (ちくま学芸文庫)、ISBN 978-4480089854（2006年4月）。
| |
| − | * 竹之内脩 、伊藤 隆：「π ― πの計算アルキメデスから現代まで」、共立出版、ISBN 978-4320018341 （2007年3月22日）。
| |
| − | * 上野 健爾 :「円周率が歩んだ道」、岩波書店 (岩波現代全書)、ISBN 978-4000291040（2013年6月19日）。
| |
| − | * 中村 滋:「円周率 ―歴史と数理―」、共立出版、ISBN 978-4320110625（2013年11月23日）。
| |
| − | * Lennart Berggren、Jonathan Borwein、Peter Borwein: "Pi: A Source Book"(3rd Ed.)、Springer、ISBN 978-0387205717、（2004年8月9日）。
| |
| − | * David H. Bailey、Jonathan M. Borwein："Pi: The Next Generation: A Sourcebook on the Recent History of Pi and Its Computation"(1st ed.)、Springer、ISBN 978-3319323756 （2016年8月5日）。
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| − | | |
| − | == 関連項目 ==
| |
| − | {{commonscat|Pi}}
| |
| − | {{Wiktionary|円周率}}
| |
| − | * 数学に関するもの
| |
| − | ** [[円周率の歴史]]
| |
| − | ** [[円周率の無理性の証明]]
| |
| − | ** [[τ (数学定数)]] - 円の周長と半径の比
| |
| − | ** [[リンデマンの定理]]
| |
| − | ** [[ファインマン・ポイント]]
| |
| − | ** [[数学定数]]
| |
| − | * 教育に関するもの
| |
| − | ** [[円周率は3]]
| |
| − | * 社会に関するもの
| |
| − | ** [[円周率の日]]
| |
| − | ** [[インディアナ州円周率法案]]
| |
| − | | |
| − | == 外部リンク ==
| |
| − | * [https://www.shinko-keirin.co.jp/keirinkan/sansu/WebHelp/05/page5_27.html 算数用語集「円周率」] - 新興出版社啓林館
| |
| − | * [http://www.ndl.go.jp/math/s1/c4.html 江戸の数学「コラム 円周率」] - 国立国会図書館
| |
| − | | |
| − | {{Normdaten}}
| |
| | {{デフォルトソート:えんしゆうりつ}} | | {{デフォルトソート:えんしゆうりつ}} |
| | [[カテゴリ:円周率|*えんしゆうりつ]] | | [[カテゴリ:円周率|*えんしゆうりつ]] |
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