正則凸包

数学の複素解析の分野において、n-次元複素空間 Cⁿ 内のある与えられたコンパクト集合に対する正則凸包（せいそくとつほう、英: holomorphically convex hull）は、次のように定義される。

[math]G \subset {\mathbb{C}}^n[/math] をある領域（すなわち、連結開集合）あるいはより一般に、[math]n[/math]-次元複素多様体とする。[math]{\mathcal{O}}(G)[/math] を、[math]G[/math] 上の正則函数の集合とする。あるコンパクト集合 [math]K \subset G[/math] の正則凸包は、次で定義される。

[math] \hat{K}_G := \{ z \in G \big| \left| f(z) \right| \leq \sup_{w \in K} \left| f(w) \right| \mbox{ for all } f \in {\mathcal{O}}(G) \} .[/math]

この定義において f を多項式とすることで、より特殊な概念である多項式凸包（polynomial convex hull）が得られる。

[math]G[/math] 内でコンパクトなすべての [math]K \subset G[/math] に対して [math]\hat{K}_G[/math] も [math]G[/math] 内でコンパクトであるなら、そのような領域 [math]G[/math] は正則凸（holomorphically convex）であると言われる。これはしばしば holomorph-convex と略記される。

[math]n=1[/math] のとき、[math]\hat{K}_G[/math] は [math]G \setminus K \subset G[/math] の相対コンパクトな成分と [math]K[/math] との合併であるため、任意の領域 [math]G[/math] は正則凸である。またこのとき、領域が正則凸であることは、それが正則領域であることと同値であることに注意されたい（カルタン＝トゥレンの定理）。これらの概念は、多変数複素函数の n > 1 の場合にはさらに重要となる。

関連項目

• シュタイン多様体
• 擬凸性

参考文献

• Lars Hörmander. An Introduction to Complex Analysis in Several Variables, North-Holland Publishing Company, New York, New York, 1973.
• Steven G. Krantz. Function Theory of Several Complex Variables, AMS Chelsea Publishing, Providence, Rhode Island, 1992.