ランダムウォーク

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ファイル:Random walk in2D.png
2次元ランダムウォークの軌跡。

ランダムウォーク（英語: random walk）は、次に現れる位置が確率的に無作為（ランダム）に決定される運動である。日本語の別名は乱歩（らんぽ）、酔歩（すいほ）である。グラフなどで視覚的に測定することで観測可能な現象で、このとき運動の様子は一見して不規則なものになる。

ブラウン運動と共に、統計力学、量子力学、数理ファイナンス[1][2]等の具体的モデル化に盛んに応用される。

数学的定義

Xn (n = 1, 2, ...) を独立かつ同分布な Rd 値確率変数族とする。この時、

[math]S_n = X_1 + \cdots + X_n[/math]

を（d 次元）ランダムウォーク (d dimensional random walk, RW) という。

特に、Xn が Zd 値であり、かつ、

[math]P( X_n = \mathbf{e}_j ) = P( X_n = -\mathbf{e}_j ) =\frac{1}{2d} [/math]

（[math]\mathbf{e}_j[/math] は、第 j 成分が 1 の単位ベクトル）である時、Sn を（d 次元）単純ランダムウォーク (d dimensional simple random walk) という。

直接的一般化として、結晶格子（結晶構造の抽象化）上のランダムウォークが定式化され、中心極限定理と大偏差の性質が小谷と砂田により証明されている[3][4]。

例

コイントスにおいて、コインを投げて「裏と表が出る確率」は、共に二分の一である。

数直線上の点について、コインを投げて表が出た場合に点を右（正の方向）に進め、裏が出た場合に点を左（負の方向）に進める試行（1次元のランダムウォーク）を無限回繰り返した場合に、点がある位置に存在する確率は正規分布で示される。

しかし、点が正の領域にいる時間の割合[math]x[/math]の分布は、[math]\frac{1}{\pi \sqrt{x(1-x)} }[/math]の確率密度を持つ（負の領域にいる時間の割合は[math]1-x[/math]）。これは[math]x=0[/math]および[math]x=1[/math]で無限大に発散するグラフである。

すなわち、正・負のそれぞれの領域に半々ずつ点がいる確率よりも、どちらかの領域に多くいる確率の方がはるかに高い結果となる[5][6]。

基本的性質

  1. 再帰性
    1または2次元の単純ランダムウォークは再帰的であり、3次元以上のランダムウォークは非再帰的である。[7][8]
  2. Donsker の定理の系
    Xn (n = 0, 1, ...) を平均 0 かつ分散 1 の独立かつ同分布な 1 次元ランダムウォークとし、
    [math]S_t = S_n \quad \mbox{ if } t = n , \quad \mbox{ linear } \mbox{ if } n \lt t \lt n + 1 [/math]
    で定義すると、各 t ≧ 0 に対して次が成立する。
    [math]P \left( \left| \frac{S_{nt}}{\sqrt{n}} - B_t \right| \lt \varepsilon \right) \rightarrow 0 \quad \mbox{ for all } \varepsilon \gt 0 [/math]

応用

レビのダスト
宇宙空間の星の分布のモデルとして考えられた点の分布。点の進む方向をランダム、進行距離の分布が冪級数で与えられるようなランダムウォーク。
自己回避ランダムウォーク[9]
軌跡が交差しないランダムウォーク。理論的な解析は困難。高分子の幾何学的構造[10]、海岸線などのモデル（自己相似）として利用されている。

脚注

  1. ↑ ウィーナー過程フィナンシャル・アーティスト・アカデミー株式会社
  2. ↑ Log normal distributionニューメリカルテクノロジーズ株式会社
  3. ↑ M. Kotani, T. Sunada (2003). “Spectral geometry of crystal lattices”. Contemporary. Math. 338: 271–305. doi:10.1090/conm/338/06077. 
  4. ↑ M. Kotani, T. Sunada (2006). “Large deviation and the tangent cone at infinity of a crystal lattice”. Math. Z. 254: 837–870. doi:10.1007/s00209-006-0951-9. 
  5. ↑ ランダムウォークに関する話題から ―逆正弦法則について―小杉のぶ子（東京海洋大学 海洋工学部）
  6. ↑ “つき”の数理-逆正弦法則について大阪大学基礎工学研究科会田研究室
  7. ↑ ランダムウォーク
  8. ↑ 電気回路とランダム・ウォーク2002年3月17日 確率統計委員会・深川久（豊中高校）
  9. ↑ 確率モデルを用いたフラクタル図形の作成複雑系工学講座 混沌系工学研究室 井上純一
  10. ↑ ランダムウォークと統計力学岡部豊

関連項目



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