マルコフ数

マルコフ数（マルコフすう）は、マルコフのディオファントス方程式と呼ばれる以下の式

[math]x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz[/math]

の解の一部を与える正整数x, y, zである。マルコフ数は、ロシアの数学者アンドレイ・マルコフの名にちなんでいる。

最初のいくつかのマルコフ数を列挙する。

1, 2, 5, 13, 29, 34, 89, 169, 194, 233, 433, 610, 985, 1325, ...

これらは、解の組（マルコフの3つ組）としては以下のようなものである。

(1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 5), (1, 5, 13), (2, 5, 29), (1, 13, 34), (1, 34, 89), (2, 29, 169), (5, 13, 194), (1, 89, 233), (5, 29, 433), (89, 233, 610), ...

ファイル:Diagram of Markoff tree.png

二分木上に配置されたマルコフ数

マルコフ数もマルコフの3つ組も無限個存在する。マルコフのディオファントス方程式が対称であることから、マルコフの3つ組は要素を並べ替えても再び方程式の解を与える。したがって、（上記の例のように） [math]a\le b\le c[/math]を仮定して正規化することができる。最初の2つの3つ組を除いて、マルコフの3つ組[math](a,b,c)[/math]は必ず3つの相異なる整数からなる。与えられたマルコフ数cに対して、cが最大要素であるようなマルコフの3つ組が一意に定まるとする予想がある。

マルコフ数は二分木上に配置することが可能である（図参照）。あるレベルに置かれた整数の中で最大のものは、常にほぼ下から3番目にある。解の1つが2であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、すべて奇数番目のペル数である（あるいは、[math]2n^2 - 1[/math]が平方数となるようなnと言い換えてもよい）。また、解の1つが1であるような3つ組に含まれるマルコフ数は、奇数番目のフィボナッチ数である。したがって、以下のようなマルコフの3つ組は無限個存在する。

[math](1, F_{2n - 1}, F_{2n + 1})[/math]

ただしF_xはx番目のフィボナッチ数とする。同様に、以下のようなマルコフの3つ組も無限個存在する。

[math](2, P_{2n - 1}, P_{2n + 1})[/math]

ここでP_xはx番目のペル数とする。

奇数のマルコフ数は[math]4n + 1[/math]という形であり、偶数のマルコフ数は[math]32n + 2[/math]という形である。

あるマルコフの3つ組 (x, y, z) がわかっているとき、[math](x, y, 3xy - z)[/math]という形の3つ組もまたマルコフの3つ組である。マルコフ数は素数であるとは限らないが、マルコフの3つ組の要素は常に互いに素である。[math](x, y, 3xy - z)[/math]がマルコフの3つ組であるために、必ずしも[math]x \lt y \lt z[/math]が常に成り立つ必要はない。実際、要素の順序を変えずに上記の変換を2回続ければ、元のマルコフの3つ組に戻る。そこで、(1, 1, 2)から初めてy と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続けると、フィボナッチ数からなるマルコフの3つ組が並ぶ。またx と zを入れ替えてから変換を行うという操作を続ければ、ペル数からなるマルコフの3つ組を与える。

1979年に、Don B. Zagier は n番目のマルコフ数が近似的に

[math]m_n = \tfrac13 e^{C\sqrt{n}+o(1)} \quad\text{with } C = 2.3523418721 \ldots[/math]

で与えられることを証明した。さらに彼は、（元のディオファントス方程式の非常に良い近似である）[math]x^2 + y^2 + z^2 = 3xyz +4/9[/math]がf(t) = arcosh(3t/2)に対して[math]f(x)+f(y)=f(z)[/math]と書けることを示した。

n番目のラグランジュ数は、n番目のマルコフ数から以下の公式によって求められる。

[math]L_n = \sqrt{9 - {4 \over {m_n}^2}}[/math]