セルバーグゼータ函数
セルバーグゼータ函数(Selberg zeta-function)は、アトル・セルバーグテンプレート:Harvs により導入された。有名なリーマンゼータ函数
- [math] \zeta(s) = \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-p^{-s}} [/math]
の類似で、ここに [math] \mathbb{P} [/math] は素数の集合を表す。セルバーグゼータ函数は、素数の代わりに単純な閉測地線の長さを使う。[math]\Gamma[/math] を SL(2,R) の部分群とすると、セルバーグゼータ函数は次のように定義される。
- [math]\zeta_\Gamma(s)=\prod_p(1-N(p)^{-s})^{-1},[/math]
あるいは、
- [math]Z_\Gamma(s)=\prod_p\prod^\infty_{n=0}(1-N(p)^{-s-n}),[/math]
ここに p は素な合同類全体を渡り、 N(p) は合同類 p のノルムで、p のより大きい固有値の二乗である。
有限領域を持つ双曲曲面に対して、セルバーグゼータ函数が付帯している。この函数は複素平面上の有理型函数である。このゼータ函数は、曲面上の閉じた測地線の言葉で定義される。
セルバーグゼータ函数 Z(s) のゼロ点と極は、曲面のスペクトルのデータの言葉で記述することができる。
ゼロ点は次のような点である。
- 固有値 [math]s_0(1-s_0)[/math] を持つ全てのカスプ形式に対し、点 [math]s_0[/math] にゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、対応する固有空間の次元に等しい。（カスプ形式とは、定数項がゼロのフーリエ展開を持つラプラス・ベルトラミ作用素の固有函数である。）
- ゼータ函数は散乱行列 [math] \phi(s) [/math] の行列式の全ての極でゼロ点を持つ。ゼロ点のオーダーは、散乱行列の対応する極のオーダーに等しい。
ゼータ函数は、[math] 1/2 - \mathbb{N} [/math] で極をもち、点 [math] - \mathbb{N} [/math] で、極、もしくはゼロ点を持つ。
伊原のゼータ函数は、セルバーグゼータ函数の p-進類似（グラフ理論的な類似）と考えられている。
モジュラ群のセルバーグゼータ函数
[math] \Gamma [/math] をモジュラ群として、曲面が [math] \Gamma \backslash \mathbb{H}^2 [/math] である場合には、セルバーグゼータ函数は、特に興味が持たれる。この特別な場合は、セルバーグゼータ函数が密接にリーマンゼータ函数と結びついているからである。
この場合は、散乱行列の行列式が次で与えられる。
- [math] \varphi(s) = \pi^{1/2} \frac{ \Gamma(s-1/2) \zeta(2s-1) }{ \Gamma(s) \zeta(2s) }. [/math]
特に、リーマンゼータ函数が [math]s_0[/math] でゼロ点を持つと、散乱行列の行列式は [math]s_0/2[/math] で極をもつので、セルバーグゼータ函数は [math]s_0/2[/math] でゼロ点を持つ。
参考文献
- Fischer, Jürgen (1987), An approach to the Selberg trace formula via the Selberg zeta-function, Lecture Notes in Mathematics, 1253, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0077696, ISBN 978-3-540-15208-8, MR 892317
- Hejhal, Dennis A. (1976), The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. I, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 548, 548, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0079608, MR 0439755
- Hejhal, Dennis A. (1983), The Selberg trace formula for PSL(2,R). Vol. 2, Lecture Notes in Mathematics, 1001, Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/BFb0061302, ISBN 978-3-540-12323-1, MR 711197
- Iwaniec, H. Spectral methods of automorphic forms, American Mathematical Society, second edition, 2002.
- Selberg, Atle (1956), “Harmonic analysis and discontinuous groups in weakly symmetric Riemannian spaces with applications to Dirichlet series”, J. Indian Math. Soc. (N.S.) 20: 47–87, MR 0088511
- Venkov, A. B. Spectral theory of automorphic functions. Proc. Steklov. Inst. Math, 1982.
- Sunada, T., L-functions in geometry and some applications, Proc. Taniguchi Symp. 1985, "Curvature and Topology of Riemannian Manifolds", Springer Lect. Note in Math. 1201(1986), 266-284.