ジーゲル・ウォルフィッツの定理

解析的整数論では、ジーゲル・ウォルフィッツの定理(Siegel–Walfisz theorem)は、カール・ジーゲル(Carl Ludwig Siegel)による定理の算術級数における素数(primes in arithmetic progression)への応用として、アーノルド・ウォルフィッツ(Arnold Walfisz)により得られた。

定理の内容

[math]\psi(x;q,a)=\sum_{n\leq x\atop n\equiv a\pmod q}\Lambda(n)[/math]

と定義する。ここに [math]\Lambda[/math] はフォン・マンゴルト函数 で [math]\phi[/math] オイラーのトーシェント函数とする。定理は、任意の実数 N に対し、N のみに依存する以下を満たす正の定数 [math]C_N[/math] が存在することを言っている。(a, q) = 1 かつ

[math]q\le(\log x)^N[/math]

であるときは、必ず

[math]\psi(x;q,a)=\frac{x}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-C_N(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right)[/math]

となる。

注意

ジーゲルの定理は非有効である（計算可能ではない）ので、定数 [math]C_N[/math] は計算可能ではない。

定理より、次の形の算術級数の素数定理を導くことができる。(a, q) = 1 に対し、[math]\pi(x;q,a)[/math] により、mod q で a に合同な、x 以下の素数の個数を表すとすると、

[math]\pi(x;q,a)=\frac{{\rm Li}(x)}{\varphi(q)}+O\left(x\exp\left(-\frac{C_N}{2}(\log x)^\frac{1}{2}\right)\right),[/math]

となる。ここに N, a, q, C_N, φ は定理のもの、Li は補正対数積分である。