クロネッカーの定理

数学では、クロネッカーの定理(Kronecker's theorem)は、レオポルト・クロネッカー(Leopold Kronecker)の名前に因んだ 2つの定理のうちのいずれかである。

拡大体の存在

この定理は、ある体を係数に持つ定数ではない多項式 p(x) ∈ F[x] は拡大体 [math]E \supset F[/math] に根を持つことを主張している。

たとえば、x² + 1 = 0 のような実数体の多項式は、複素数である 2つの根を持つ。

この定理は通常、クロネッカーが元々は不本意であったものの、有理数以外の数の存在を受け入れたものであると信じられているが、多くの集合に対する有用な構成(construction)をもたらしている。

ディオファントス近似での結果

クロネッカーの定理(Kronecker's theorem)は、1 ≤ i ≤ N とした複数の実数 x_i へ適用したディオファントス近似での結果であり、ディリクレの近似定理を多変数へと一般化した定理である。

古典的なクロネッカーの近似定理は、次のように定式化される。実数 [math]\alpha_i=(\alpha_{i_1},\cdots,\alpha_{i_n})\in\mathbb{R}^n, i=1,\cdots,m [/math] と [math]\beta_j=(\beta_1,\cdots,\beta_n)\in \mathbb{R}^n[/math] が与えられると、すべての小さな [math]\epsilon\gt 0[/math] に対し、整数 [math]p_i[/math] と [math]q_j[/math] が存在し、

[math]\biggl| \sum^m_{i=1}q_i\alpha_{ij}-p_j-\beta_j\biggr|\lt \epsilon,\ \ \ \ 1\le j\le n[/math] ,

が成り立つことと、

[math]\sum^n_{j=1}\alpha_{ij}r_j\in\mathbb{Z}, \ \ i=1,\dots,m\ ,[/math]

であるすべての [math]r_1,\dots,r_n\in\mathbb{Z},\ i=1,\dots,m[/math] に対し、数 [math]\sum^n_{j=1}\beta_jr_j[/math] が再び整数となることとは同値である。

クロネッカーの近似定理は、19世紀の終わりにレオポルト・クロネッカーにより最初に証明された。20世紀後半以来、n次元トーラスやマーラー測度の考え方と関係していることが明らかとなっている。 力学系の言葉では、クロネッカーの定理は、惑星の周期に（互いの間の引力相互作用による）依存関係が存在しないとすれば、恒星の周りを円軌道を描いて回る惑星は、時間を経てすべてが整列することを意味する。

n次元トーラスとの関係

トーラスは、

T = R^N/Z^N,

であり、トーラス上の点 P により生成される部分群 <P> の閉包は有限群か、あるいは、T の中に含まれるあるトーラス T′ である。元々のクロネッカーの定理 (レオポルト・クロネッカー, 1884) は、

T′ = T,

のための必要条件であるという定理である。このことは、1 を含めると数 x_i は有理数体上で線型独立であり、十分条件でもある。ここに 1 と x_i の線型結合が 0 であれば、係数は整数に採ることができ、群 T の指標と 1 と非ゼロの有理数の線型結合が 0 となれば、係数を整数に採ることができ、自明指標(trivial character)というよりも群 T の指標 χ がP 上の値 1 をとることができることが、容易に分かる。ポントリャーギン双対性により、T′ を χ の核の中の元として、従って、T 全体に等しくはなく採ることができる。

実際、ここでポントリャーギン双対性を完全に使うと、クロネッカーの定理の全体が、

χ(P) = 1

となる χ の核の交叉として、<P> の閉包を記述する。

このことは、T の単元生成な(monogenic)な閉部分群の間の（単調な）ガロア接続(Galois connection)を与え（位相的な意味で、単一の生成子を持つ）、与えられた点を含む核を持つ指標の集合をもたらす。すべての閉部分群が単調生成であるわけではない。たとえば、単位元の連結成分が次元 ≥ 1 のトーラスを持ち、連結でない閉部分集合はそのような部分集合ではありえない。

定理は、どのようにうまく（統一的に）P の多重化 mP が閉包を満たすかは、未解決である。1-次元の場合は、分布は等分布定理(equidistribution theorem)により規格化される。

参照項目

• ワイルの判定条件(Weyl's criterion)