同値
同値（どうち）または等価（とうか）とは、2つの命題が共に真または共に偽のときに真となる論理演算である。 英語ではequivalence (EQ)。「if and only if」を略して、iff ともいう。否定排他的論理和 (XNOR) に等しい。 演算子記号は ⇔、↔、≡、=、EQ などが使われる。
真理値表
| 命題 P | 命題 Q | P ⇔ Q |
|---|---|---|
| 真 | 真 | 真 |
| 真 | 偽 | 偽 |
| 偽 | 真 | 偽 |
| 偽 | 偽 | 真 |
性質
同値の基本的な性質は以下のとおり。[math]\Rightarrow[/math]は論理包含（ならば）、[math]\land[/math]は論理積（かつ）。
- 反射律: [math]p \Leftrightarrow p[/math]
- 対称律: [math](p \Leftrightarrow q) \Rightarrow (q \Leftrightarrow p)[/math]
- 推移律: [math]\{(p \Leftrightarrow q) \land (q \Leftrightarrow r)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow r)[/math]
他にも次のような性質がある。[math]\lnot[/math] は否定、[math]\veebar[/math] は排他的論理和。
- 反対称律: [math]\{(p \Rightarrow q) \land (q \Rightarrow p)\} \Rightarrow (p \Leftrightarrow q)[/math]
- [math](p \Leftrightarrow q) \Leftrightarrow \lnot (p \veebar q)[/math]
必要十分条件
二つの条件 p 、q に対して、「 p を満たすものは全て q も満たす 」 というとき、「 p は q である為の十分条件である 」 あるいは 「 q は p である為の必要条件である 」 という。また、「 p は q である為の十分条件であり、q は p である為の十分条件である 」 というとき、「 p は q である為の必要十分条件である 」 あるいは 「 p と q とは同値である 」 という。
例 1 自然数変数 n についての条件 p(n), q(n) を次のように定める。
- p(n)： n > 10
- q(n)： 2n > 20
そのとき、p(n) は q(n) である為の必要十分条件である。すなわち、n > 10 は 2n > 20 である為の必要十分条件である。
例 2 実数変数 x についての条件 p(x), q(x) を次のように定める。
- p(x)： x > 0
- q(x)： x2 > 0
そのとき、p(x) は q(x) である為の十分条件である。しかし、−1 は q(x) を満たすが ｐ(x) を満たさないので、 「q(x) を満たす実数は全て p(x) を満たす」 とはいえない。よって、q(x) は p(x) である為の十分条件ではない。従って、p(x) は q(x) である為の必要十分条件ではない。
例 3 ￢、⇔ を論理演算とし、命題変数 A 、B についての条件 p(A, B), q(A, B) を次のように定める。 ( ￢ は集合 { 真、偽 } から集合 { 真、偽 } への 1 つの写像である。⇔ は { 真、偽 }×{ 真、偽 } から { 真、偽 } への 1 つの写像である。A 、B は { 真、偽 } の元の変数である。)
- p(A, B)： ￢( A ⇔B ) = 真
- q(A, B)： ( ￢A )⇔B = 真
そのとき、p(A, B) は q(A, B) である為の必要十分条件である。すなわち、「￢( A ⇔B ) = 真」 は 「( ￢A )⇔B = 真」 である為の必要十分条件である。
関連項目
脚注
外部リンク
- Necessary and Sufficient Conditions （英語） - スタンフォード哲学百科事典「必要条件と十分条件」の項目。
- Weisstein, Eric W. “Equivalent”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Weisstein, Eric W. “Iff”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。