線型性
線型性（せんけいせい、英語: linearity）あるいは線型、線形、線状、リニア（せんけい、英語: linear、ラテン語: linearis）とは、直線そのもの、または直線のようにまっすぐな図形やそれに似た性質をもつ対象および、そのような性質を保つ変換などを指して用いられている術語である[1]。対義語は非線型性（英語：Non-Linearity）である。
英語の数学用語のlinear にあてる日本語訳としては、線型が本来の表記であると指摘されることもある[2]が、他にも線形、線状などといった表記もしばしば用いられている。また一次という表記・表現もしばしば用いられている。というのはlinearは、（多変数の）斉一次函数を指していると考えて間違っていない場合も多いためである。[3]
線型写像
数学において、写像 f が線型であるとは、f について以下のふたつの性質
- 加法性: 任意の x, y に対して f(x + y) = f(x) + f(y)
- 斉次性（作用との可換性）: 任意の x, α に対して f (αx) = αf(x)
が満たされることである。ここで x, y は実数や複素数、あるいはベクトルなど一般に環上の加群の元、α はその環の元を表す。たとえば、一次関数はそのグラフが原点を通るとき、またそのときに限り線型性を持つ。
線型代数学はこのような線型の変換とそれによって保たれる空間の性質について研究する学問であり、ベクトル、ベクトル空間および行列によって表される線型写像や線型方程式系を扱う。また関数を関数にうつす写像である作用素の線型性は関数解析学で扱われる。関数の微分を作用素とみなすことで得られる微分作用素（たとえば∇やラプラス作用素）の概念は線型作用素の重要な例である。
線型性をもつことで、物理学や工学においては初期値を与えてやればその後の挙動の予測が単純化できるという利点がある[4]。
微分方程式
微分方程式が線型である場合は線型代数学の範疇で解を探すことができる。一方で、線型でない（非線型の）場合には、たとえばカオスのような問題があらわれ、解くことが飛躍的に難しくなる。しかし、それゆえに、またパンルヴェ方程式のようにある種の対称性をもち、幾何学的に多様な性質を内包するものが存在するなどの理由により、数学者や物理学者などにとって興味深い対象が数多く存在するのも非線型微分方程式である。
重線型
多変数の写像の線型性として重線型性（多重線型性）がある。2変数の場合は
- f(x + y, z) = f(x, z) + f(y, z),
- f(x, y + z) = f(x, y) + f(x, z),
- f(cx, y ) = f(x, cy) = cf (x, y)
である。双線型な汎関数（双線型形式）の例としては内積や外積が挙げられる。さらに多変数の場合に
- 多重線型性
- [math] f(x_1, \ldots, x_i + x'_i, \ldots, x_n) = f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) + f(x_1, \ldots, x'_i, \ldots, x_n) [/math]
- [math] f(x_1, \ldots, c\cdot x_i, \ldots, x_n) = c\cdot f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n) [/math]
を考えることができる。例えば、行列式は列または行ベクトルに注目すれば多重線型形式である。
脚注
- ↑ ただし厳密には、線のようにまっすぐな図形が全て線型性を有すると考えるのは正しくない。
- ↑ 岩波国語辞典 第五版
- ↑ 「一次」も、必ずしも「線型」を意味しない。例えば一般の一次関数(linear function) の「一次」および linear は本項にいう意味では線型でない（アフィンである）。「線形代数」「線型代数」を「一次代数」とは云わない。
- ↑ ただし実際には、初期値以外の条件によって挙動に分岐が生じたり、計測限界以下の初期値のばらつきがその後に無視できないほど大きな挙動の差となって現れたりすることも多い。これらを線形性のモデルを修正しても予測不可能な場合を「非線形性である」といい、統計的方法や数値解析シミュレーションで補うなどの方法も試みられている。