「レムニスケート」の版間の差分
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レムニスケート(英: lemniscate)は極座標の方程式
- [math]r^2 = 2a^2 \cos 2\theta[/math]
で表される曲線である。連珠形(れんじゅけい)とも呼ばれる。またヤコブ・ベルヌーイのレムニスケートとも呼ばれる。カッシーニの卵形線の一種と見なすことができる。
直交座標の方程式では
- [math](x^2 + y^2)^2 - 2a^2(x^2 - y^2) = 0[/math]
となる。
x軸、y軸に対して線対称である。原点Oで自らと交わる。原点Oにおける接線はy=x,y=-xとなる。原点Oと[math]\sqrt{2}a,-\sqrt{2}a[/math]でx軸と交わる(以下、この二点を「交点」と呼ぶ)。点 (±a, 0) は、レムニスケートの焦点(英:focus, -ci)と呼ばれる。レムニスケート上では、「任意の点と一方の焦点との距離」と「その任意の点ともう一方の焦点との距離」の積は一定である。直角双曲線の接線に、原点から垂線を下ろした点の軌跡はレムニスケートになる。また、中心が直角双曲線上にあり、なおかつ原点を通る円の包絡線はレムニスケートになる。
ループ1つで囲まれる面積は[math]a^2[/math]であり、2つ合わせて[math]2a^2[/math]となる。曲線の弧長は楕円積分によって表される。
レムニスケートはベルヌーイ兄弟によって最初に発見され、イタリアの数学者ファニャーノによって楕円積分論の事例として詳しく研究された。オイラーはファニャーノの『数学論文集』に刺激を受け、微分方程式論の研究を発展させ、独自の楕円積分論を構築した。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Lemniscate”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。
- テンプレート:MacTutor (英語)
- "Lemniscate de Bernoulli" at Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (フランス語)
- Coup d'œil sur la lemniscate de Bernoulli (フランス語)