双曲線

双曲線（そうきょくせん、英: hyperbola）とは、2次元ユークリッド空間 R² 上で定義され、ある2点 P, Q からの距離の差が一定であるような曲線の総称である。この P, Q は焦点と呼ばれる。双曲線は、次の陰関数曲線の直交変換によって決定することができる。

[math]\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \quad (*)[/math]

この場合、焦点の座標は

[math]P(-\sqrt{a^2+b^2},0) \ , \ Q(\sqrt{a^2+b^2},0)[/math]

と書ける。このとき、2焦点から曲線への距離の差は 2a となる。また、双曲線には2つの漸近線が存在しており、

[math]bx+ay = 0 \ , \ bx-ay = 0[/math]

である。漸近線が直交している、すなわち a = b であるとき、この双曲線を特に直角双曲線と呼んだりする。

反比例のグラフ $xy = C$ も双曲線の一種である。これは、直角双曲線：[math]a^2-b^2=2C[/math] を直交変換によって $π /4$ だけ回転させた双曲線に等しい。

双曲線は、双曲線関数を用いて媒介変数表示することができる。

[math] \begin{cases} x = \pm a \cosh t \\ y = b \sinh t \end{cases} [/math]

円錐曲線としての双曲線

円錐切断面の4つのタイプ (放物線、楕円、円、双曲線)

離心率が e であるような円錐曲線を C_e とする。このとき、e > 1 であれば、 C_e は双曲線となる。この円錐曲線を適当に直交変換することにより、準線が x = -f , 焦点の一つが P = (f,0) となったとする。双曲線の任意の点 T = (x,y) に対し、方程式

[math]e(x-f) = d(P,T)[/math]

が成立するが、[math]d(P,T) = \sqrt{(x-f)^2 + y^2}[/math] となるから、上方程式の両辺を2乗して移項整理することにより、

[math]x^2 + 2 \left( \frac{e^2+1}{e^2-1} \right) fx - \frac{y^2}{e^2-1} = -f^2 [/math]

さらに x に関して平方完成させることにより、

[math]\left(x+\left(\frac{e^2+1}{e^2-1}\right)f \right)^2 - \frac{y^2}{e^2-1} = \left(\frac{2e}{e^2-1}f \right)^2[/math]

これが、円錐曲線としての双曲線の基本形である。さらに直交変換：[math]X = x + \frac{e^2 + 1}{e^2-1} f[/math] , Y=y を行って適当に整理することによって、(*) の形になる。

また、双曲線は、円錐を底面を通る軸に平行でない面で切断したときの、切断面の境界である。

『曲線の事典　性質・歴史・作図法』　礒田正美、Maria G. Bartolini Bussi編、田端毅、讃岐勝、礒田正美著:共立出版、2009年　ISBN 9784320019072