ヤコビの二平方定理

ヤコビの二平方定理(Jacobi's two square theorem)は、自然数を高々二個の平方数の和で表す方法の数を与える定理。名称はドイツの数学者ヤコビに由来する。

自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は

[math]r_2(n)=4\sum_{2{\nmid}d{\mid}n}(-1)^\frac{d-1}{2}[/math]

で与えられる。但し、シグマ記号は2で整除されないNの約数（1とNを含む）について和を取ることを表す。言い替えれば、自然数Nを高々二個の平方数の和で表す方法の数は、Nの約数のうち、4を法にして1と合同になるものの個数から3と合同になるものの個数を引いたものの4倍に等しい。

具体例

例えば、

[math]r_2(25)=4\left((-1)^\frac{1-1}{2}+(-1)^\frac{5-1}{2}+(-1)^\frac{25-1}{2}\right)=12[/math]

であるが、実際に25を高々二個の平方数の和で表す方法は

[math]\begin{align}25 &=(\pm5)^2+0^2\\ &=0^2+(\pm5)^2\\ &=(\pm4)^2+(\pm3)^2\\ &=(\pm3)^2+(\pm4)^2\\ \end{align}[/math]

であり、符号と順序を区別すれば12個になる。

証明

テータ関数の比は楕円関数（二重周期を持つ有理型関数）になり、楕円関数の導関数も楕円関数になるから、

[math]\begin{align} F(v)&=\frac{\partial}{\partial{v}}\left(\frac{\vartheta_1(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)=\frac{\vartheta_1'(v,\tau)\vartheta_2(v,\tau)-\vartheta_1(v,\tau)\vartheta_2'(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}\\ G(v)&=\left(\frac{\vartheta_3(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)\left(\frac{\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)}\right)=\frac{\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}\\ \end{align}[/math]

[math]F(v)[/math]と[math]G(v)[/math]は共に楕円関数である。且つ、

[math]\begin{align} &\vartheta_1'\left(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}\right)=\vartheta_2'\left(v+\frac{1}{2}+\frac{\tau}{2}\right)=0\\ &\vartheta_1'\left(v+\frac{\tau}{2}\right)=\vartheta_2'\left(v+\frac{\tau}{2}\right)=0\\ \end{align}[/math]

であるから、[math]G(v)=0[/math]となるところにおいて悉く[math]F(v)=0[/math]となり、リウヴィルの定理によって[math]F(v)/G(v)[/math]は定数である。[math]v\to0[/math]として

[math]\begin{align} &\vartheta_1(0,\tau)=0\\ &\vartheta_1'(0,\tau)=\pi\vartheta_2(0,\tau)\vartheta_3(0,\tau)\vartheta_4(0,\tau)\\ \end{align}[/math]

により、[math]F(0)=\pi\vartheta_2(0,\tau)^2G(0)[/math]を得る。従って、

[math]F\left(v\right)=\frac{\pi\vartheta_2(0,\tau)^2\vartheta_3(v,\tau)\vartheta_4(v,\tau)}{\vartheta_2(v,\tau)^2}[/math]

である。右辺のテータ関数を無限乗積に展開し、[math]v=\tfrac{1}{4}[/math]を代入し、[math]q=e^{{\pi}i\tau}[/math]と書くと

[math]\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right) &=\frac{\pi\left(2q^{1/4}\right)^2}{\left(2q^{1/4}\right)^2\cos^2\tfrac{\pi}{4}}\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2m})^2(1+q^{2m})^4(1-q^{2m})(1+iq^{2m-1})(1-iq^{2m-1})(1-q^{2m})(1-iq^{2m-1})(1+iq^{2m-1})}{(1-q^{2m})^2(1+iq^{2m})^2(1-iq^{2m})^2}\\ &=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{2m})^2(1+q^{2m})^4(1+iq^{2m-1})^2(1-iq^{2m-1})^2}{(1+iq^{2m})^2(1-iq^{2m})^2}\\ &=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{4m})^2(1+q^{2m})^2(1+q^{4m-2})^2}{(1+q^{4m})^2}\\ &=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}\frac{(1-q^{4m})^2(1+q^{4m})^2(1+q^{4m-2})^2(1+q^{4m-2})^2}{(1+q^{4m})^2}\\ &=2\pi\prod_{m=1}^{\infty}(1-q^{4m})^2(1+q^{4m-2})^4\\ \end{align}[/math]

となり、ヤコビの三重積の公式により

[math]\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right) &=2\pi\left(\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2n^2}\right)^2=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2(n^2+m^2)} \end{align}[/math]

となる。一方、

[math]\begin{align} &\vartheta_2\left(v\right)=\vartheta_1\left(\tfrac{1}{2}-v\right)\\ &\vartheta_2'\left(v\right)=\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{2}-v\right)\\ \end{align}[/math]

であるから

[math]\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right) &=\frac{\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{4}\right)\vartheta_2\left(\tfrac{1}{4}\right)-\vartheta_1\left(\tfrac{1}{4}\right)\vartheta_2'\left(\tfrac{1}{4}\right)}{\vartheta_2\left(\tfrac{1}{4}\right)^2}=\frac{2\vartheta_1'\left(\tfrac{1}{4}\right)}{\vartheta_1\left(\tfrac{1}{4}\right)}\\ \end{align}[/math]

であり、テータ関数の対数微分の公式により

[math]\begin{align}F\left(\tfrac{1}{4}\right) &=2\pi\cot\frac{\pi}{4}+8\pi\sum_{n=1}^{\infty}\frac{q^{2n}}{1-q^{2n}}\sin\frac{\pi{n}}{2}\\ &=2\pi+8\pi\sum_{k=0}^{\infty}\frac{q^{2(2k+1)}}{1-q^{2(2k+1)}}(-1)^k\qquad(n\to2k+1)\\ &=2\pi+8\pi\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\sum_{j=1}^{\infty}q^{2j(2k+1)}\\ \end{align}[/math]

である。以上により、

[math]\frac{F\left(\tfrac{1}{4}\right)}{2\pi}=\sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}q^{2(n^2+m^2)}=1+4\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\sum_{j=1}^{\infty}q^{2j(2k+1)}[/math]

が得られ、[math]q^{2N}[/math]の係数を比較することにより、

[math]r_2(N)=4\sum_{2{\nmid}d{\mid}N}(-1)^\frac{d-1}{2}[/math]

が得られる。

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