極座標系

極座標系（きょくざひょうけい、英: polar coordinates system）とは、n 次元ユークリッド空間 Rⁿ 上で定義され、1 個の動径 r と n − 1 個の偏角 θ₁, …, θ_n−1 からなる座標系のことである。点 S(0, 0, x₃, …,x_n) を除く直交座標は、局所的に一意的な極座標に座標変換できるが、S においてはヤコビアン が 0 となってしまうから、一意的な極座標表現は不可能である。それは、S に於ける偏角が定義できないことからも明らかである。

いろいろな極座標とその拡張

円座標

2 次元ユークリッド空間 R² における極座標は円座標（circular coordinates）と呼ばれ、一つの動径座標と一つの角度座標からなる、最も単純な極座標である。rθ 平面、極座標平面（または平面極座標）ともいう。特異点は (r, θ) = (0, θ) 即ち、xy座標での原点 (x, y) = (0, 0) である。2 次元実ベクトル空間にも定義できることから、複素数体 C 上にも定義できる。この時、円座標を極形式と呼んだりもする。その場合、オイラーの公式を利用して z = re^iθ と表す。円座標平面上で偏角を限定しなければ、これはxy平面上で円を描く。

円座標 (r,θ) から直交直線座標 (x,y) への変換は

[math]\begin{cases} x =r\cos\theta \\ y =r\sin\theta \\ \end{cases}[/math]

で与えられる。角度座標の範囲を −π < θ ≤ π とする場合の直交直線座標から円座標への変換は

[math]\begin{cases} r =\sqrt{x^2 +y^2} \\ \theta =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\ \end{cases}[/math]

で与えられる。ここで sgn は符号関数である。原点 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため θ が定まらない。

円柱座標

円座標で (0, 0) を除く xy 平面上の全ての点を表現できるから、これに z 軸を加えれば、xyz 空間が表現できる。これを円柱座標（cylindrical coordinates）と言う。円柱座標空間上（rθz 空間上ともいう）で、θ, z を限定しなければ、これは xyz 空間上で円柱を描く。 また、円柱座標空間上の特異点は z 軸上の全ての点である。

円筒座標 (r,θ,z) から直交直線座標 (x,y,z) への変換は

[math]\begin{cases} x =r\cos\theta \\ y =r\sin\theta \\ z =z \\ \end{cases} [/math]

で与えられ、直交直線座標から円筒座標への変換は

[math]\begin{cases} r =\sqrt{x^2+y^2} \\ \theta = \sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\ z =z \\ \end{cases} [/math]

で与えられる。

球座標

ファイル:Spherical with grid.svg

球座標による3次元ユークリッド空間内の点の表示

3 次元ユークリッド空間 R³ における極座標。球面座標（Spherical coordinates）とも呼ばれる。1 個の動径 r と 2 個の偏角 θ, φ によってなる（図を参照）。球座標において、動径を固定し、2 個の偏角を動かせば、xyz 空間上で球を描く。

球座標から直交直線座標への変換は

[math]\begin{cases} x =r\sin\theta \cos\phi \\ y =r\sin\theta \sin\phi \\ z =r\cos\theta \\ \end{cases}[/math]

で与えられ、直交直線座標から球座標への変換は

[math]\begin{cases} r =\sqrt{x^2+y^2+z^2} \\ \theta =\arccos(z/\sqrt{x^2+y^2+z^2}) \\ \phi =\sgn(y) \arccos(x/\sqrt{x^2+y^2}) \\ \end{cases}[/math]

で与えられる。z-軸上 (x,y) = (0,0) において特異性があり、分母がゼロとなるため φ が定まらない。原点においては θ も定まらない。

"「球面座標系」"

積分への応用

極座標平面での長方形は、直交座標に於ける扇形の一部となる。特に θ の長さが 2π であれば、直交座標においては円の一部となる。r を 0 から +∞ とすれば、この円は直交座標平面全体となる。従って、直交座標平面全体は、極座標平面に於ける長方形、r × θ = [0, ∞) × [0, 2π) に等しい。以上のことは広義二重積分に於いて有用である。なぜなら上記から、

[math]\int^{\infin}_{-\infin} \int^{\infin}_{-\infin} f(x,y)dxdy=\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 f(r\cos \theta ,r\sin \theta )rdrd\theta[/math]

が導けるからである。この公式は、例えば次のように用いられる。

[math]\int^{\infin}_{-\infin} \int^{\infin}_{-\infin} e^{-(x^2 +y^2 )} dxdy=\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r^2} rdrd\theta[/math]

左辺の積分は、このままの状態で解くのは非常に困難だが、右辺の形にすれば、変数変換 r² → r' によって、

[math]\int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r^2} rdrd\theta =\frac{1}{2} \int^{2\pi}_0 \int^{\infin}_0 e^{-r'} dr'd\theta[/math]

とできるから、あとは通常の二重積分の方法に従って簡単に解け、答えは π となる。

関連項目

• 直交座標系
• 斜交座標系