ジョルダン標準形

ジョルダン標準形（ジョルダンひょうじゅんけい、英: Jordan normal form）とは、代数的閉体（例えば複素数体）上の正方行列に対する標準形のことである。任意の正方行列は本質的にただ一つのジョルダン標準形と相似である。名前はカミーユ・ジョルダンにちなむ。

定義

行列

代数的閉体 K 成分の n 次正方行列

[math]J_n(\lambda) = \begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & 0 \\ & \lambda & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda & 1 \\ 0 & & & & \lambda \\ \end{pmatrix} [/math]

をジョルダン細胞という。 任意の正方行列 M に対して

[math] PMP^{-1} = \begin{pmatrix} J_{n_1}(\lambda_1) & & 0 \\ & \ddots & \\ 0 & & J_{n_k}(\lambda_k) \\ \end{pmatrix} [/math]

となる正則行列 P が存在する。 このとき λ_i は M の固有値である。 この行列 PMP⁻¹ のことを行列 M のジョルダン標準形という。

線形変換

代数的閉体 K 上の有限次元線形空間を V とし、線形変換 ƒ : V → V をとる。 ƒ が半単純（semisimple）であるとは、線形空間 V が [math] V = \bigoplus V_\lambda [/math] と ƒ の固有値 λ ∈ K の固有空間 V_λ = { v ∈ V | ƒ(v) = λv } の直和として表せることである。 また ƒ が 冪零（nilpotent） であるとは、ある自然数 r が存在して f^r = 0 となることである。

任意の線形変換 ƒ : V → V に対して、半単純線形変換 ƒ_s と冪零線形変換 ƒ_n で

[math] f = f_{\rm s} + f_{\rm n}, \quad f_\mathrm{s} f_\mathrm{n} - f_\mathrm{n} f_\mathrm{s} = 0 [/math]

を満たすものが一意的に存在する。このとき ƒ = ƒ_s + ƒ_n のことを（加法的）ジョルダン分解といい、 ƒ_s を ƒ の半単純成分、ƒ_n を ƒ の冪零成分という。

線形空間 V の基底 [math]\{\, e_{ij} \mid i=1, \dotsc ,k;~j=1, \dotsc ,n_i \,\}[/math] が線形変換 ƒ のジョルダン基底 であるとは、e_i0 = 0 とおいたとき

[math] f( e_{ij} )= \lambda_i e_{ij} + e_{i(j-1)} [/math]

が基底の任意の元 e_ij について成り立つことである。 ジョルダン基底に関する ƒ の表現行列がジョルダン標準形である。

例

対角行列は次数が1のジョルダン細胞のみからなるジョルダン標準形である。

次の複素成分正方行列 M のジョルダン標準形は次のようになる。

[math] M = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -2 & 5 \end{pmatrix},~ P = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix},~ PMP^{-1} = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix} [/math]

また次で定めるベクトル u, v は Mu = 3u と Mv = 3v + u とを満たすので行列 M のジョルダン基底である。

[math] u = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix},~ v = \begin{pmatrix} -1/2 \\ 0 \end{pmatrix} [/math]

この行列 M の半単純成分 S と冪零成分 N への分解は次のようになる。

[math] S = \begin{pmatrix} 3 & \\ & 3 \end{pmatrix},~ N = \begin{pmatrix} -2 & 2 \\ -2 & 2 \end{pmatrix}, ~ M = S + N [/math]

この分解は N² = 0 や SN = NS が成り立つので、 行列の指数関数や冪乗の計算に役立つ。

[math] e^{Mt} = e^{St + Nt} = e^{St}e^{Nt} = e^{St}(I + Nt) = e^{3t}\begin{pmatrix} 1 - 2t & 2t \\ -2t & 1 + 2t \end{pmatrix} [/math]

[math] M^n = (S + N)^n = S^n + nS^{n - 1}N = 3^{n - 1}\begin{pmatrix} 3 - 2n & 2n \\ -2n & 3 + 2n \end{pmatrix} [/math]

アルゴリズム

n 次正方行列 Aのジョルダン標準形は次のように計算できる。以下では I で n 次単位行列を表す。

入力

n 次正方行列 A

出力

P⁻¹AP がジョルダン標準形となる n 次正則行列 P

アルゴリズム

1. 行列 A の相異なる固有値 λ₁, …, λ_s を求める
2. A_i = A − λ_i I とおく
3. rank A_i ^k_i = rank A_i ^k_i+1 となる最小の自然数 k_i を求める
4. W_i,j = im A_i ^j ∩ ker A_i とおく
5. 部分空間の増大列 W_i,ki−1 ⊂ … ⊂ W_i,1 ⊂ W_i,0 = ker A_i に沿って ker A_i の基底 b_i,1, …, b_i,ti を求める
6. b_i,j ∈ W_i,di,j − W_i,di,j+1 となる自然数 d_i,j を求める
7. 連立一次方程式 A_i ^d_i,j x_i,j = b_i,j の解 x_i,j を求める
8. e_i,j = A_i ^j x_i,j とおく
9. P_i,j = [e_i,di,j, …, e_i,1, e_i,0] とおく
10. P = [P_1,1, …, P_1,t1, …, P_s,1, …, P_s,ts] を出力

標準形の存在証明

定理

　任意の線形変換 [math]f[/math] に対しジョルダン基底は存在する。

証明は線形空間の次元 [math]n=\dim V[/math] についての帰納法で、[math]n=1[/math] ならすべての基底がジョルダン基底だからOK、 [math]n-1[/math] までOKとして、 [math]n=\dim V[/math] とする。次の明らかな補題が証明の鍵である。

補題

　[math]\{ e_{ij} \}[/math] が [math]f[/math] のジョルダン基底なら、[math] f-\lambda 1_V[/math] のジョルダン基底でもある。ここで [math]\lambda[/math] は任意のスカラー。

この補題により [math]\operatorname{rank} f=r \lt n [/math] の場合に示せばよい。 このとき [math]V'=\operatorname{im} f,\ f'=f|_{V'}[/math] とすると、帰納法の仮定で、 [math]f'[/math] のジョルダン基底 [math]\{e_{ij} \} [/math] がとれる。 番号を [math]\lambda_1=\lambda_2=\dotsb =\lambda_s=0 [/math]、[math]i\gt s [/math] なら [math]\lambda_i \neq 0[/math] となるようにとる。[math] e_{11},e_{21},\dotsc,e_{s1}[/math] は [math]\ker f [/math] の元で線形独立だから、これらに [math]b_1,b_2,\dotsc,b_{n-r-s} [/math] を加えて [math]\ker f [/math] の基底を作る。また [math]V[/math] の元 [math]c_1,c_2,\dotsc,c_s[/math] を [math]f(c_i)=e_{i n_i }[/math] となるようにとる。このとき [math]n[/math] 個のベクトル [math]\{ e_{ij} \} \cup \{ b_i\}\cup \{ c_i \}[/math] が線形独立であることは容易にわかり、 これらは [math]V[/math] の基底である。[math]c_i =e_{i n_i +1},\ b_i =e_{k+i 1}[/math] と番号づけると、これが [math]f[/math] のジョルダン基底となる。[証明終わり]

[math]V=K^n[/math] で [math]f[/math] が行列 [math]A=(a_1,a_2,\dotsc,a_n)[/math] で表されるとき、 [math]\operatorname{rank}A=r[/math] なら、 [math]a_1,a_2,\dotsc,a_r[/math] が線形独立としてよい。このとき [math] A=\begin{pmatrix} {A_{11}} & {A_{12}} \\ {A_{21}} & {A_{22}} \end{pmatrix} [/math] は行変形で [math]\begin{pmatrix} {E_r} & R \\ 0 & 0 \end{pmatrix}[/math] と簡約化される。

命題

　上のとき、 [math]a_1,a_2,\dotsc,a_r[/math] は [math]V'[/math] の基底であるが、この基底に関する [math]f'[/math] の表現行列は [math] A_{11}+R A_{21} [/math] である。

命題の証明は略するが、これを用いると上のジョルダン基底の存在証明は、同時に行列のジョルダン標準形と変換行列を求めるアルゴリズムにもなっている。

参考文献

• 斎藤正彦 『線型代数入門』 東京大学出版会、1966年、初版。ISBN 978-4-13-062001-7。
• (2007) in Hogben, Leslie: Handbook of Linear Algebra, Discrete mathematics and its applications. Chapman & Hall/CRC. ISBN 978-1-58488-510-8. 

関連項目

• 対角化
• スペクトル定理