単位行列

数学、特に線型代数学において、単位行列（たんいぎょうれつ、identity matrix）とは、単位的環上で定義される同じ型の正方行列同士の、積演算における単位元のことである。

構成

単位行列はその対角成分に 1 が並び、他は全て 0 となる。行列要素を a_ij とすると次のように書ける。

[math]a_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1 & (i=j)\\ 0 & (i \ne j) \end{matrix}\right.[/math]

ただし、1, 0 は係数環の単位元と零元である。

[math]\begin{pmatrix} 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 \end{pmatrix}[/math]

表記法

n×n 行列の単位元は E_n や I_n と記述されることが多い。混乱の恐れがないときには、単に E や I とも書かれる。

対角行列の記法を用いて I_n = diag(1,1,1, ... ,1) と書ける。

クロネッカーのデルタを用いると、E_n = (δ_ij) と表すことが出来る。

性質

• 単位元である
• AI = IA = A
• 正方行列である
• 対角行列である
• 対称行列である
• 逆行列は自分自身である I⁻¹ = I
• 固有値はすべて1
• 特異値はすべて1
• 行列式は1 det(I) = 1

スカラー行列との関連

単位行列をスカラー倍したものをスカラー行列という。スカラーにスカラー行列を対応させる写像が単射ならば、係数環は行列群（線型代数群）あるいは行列環に部分群・部分環として埋め込まれ、係数環の中心は行列群あるいは行列環の中心に入る。特に可換体上の n 次全行列環の中心は、埋め込まれた係数体そのもので、これを全行列環は係数体上中心的であるという。