超立方体
超立方体（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、2次元の正方形、3次元の立方体、4次元の正八胞体を各次元に一般化した正多胞体である。なお、0次元超立方体は点、1次元超立方体は線分である。
正測体（せいそくたい）、γ体（ガンマたい）とも言い、n 次元超立方体を [math]\gamma_n[/math] と書く。
正単体、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。
右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。
作図
超立方体を作図するには、
[math](\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1) [/math]
を頂点とし、最も近い（距離2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。
こうして作図された超立方体は、n 次元ユークリッド空間を [math]\mathbb R^n [/math] で表して
[math]\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_\infty \le 1\}[/math]
でも定義できる。
性質
特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元超立方体について述べる。
超体積は
[math]a^n \,[/math]
超表面積は
[math]2n a^{n-1} \,[/math]
である。
ファセット (m - 1 次元面) は n - 1 次元超立方体である。したがって一般に、m 次元面は m 次元超立方体である。たとえば、面は正方形、胞は立方体である。
対角線の長さは、
[math]\sqrt{n} a \,[/math]
である。
m (0 ≤ m ≤ n - 1) 次元面の個数は
[math]2^{n - m} {}_{n}\operatorname{C}_m[/math]
である。特に、頂点は [math]2^n[/math] 個、辺は [math]2^{n-1} n[/math] 個、ファセットは [math]2n[/math] 個である。
双対は正軸体である。
任意の l 次元面と m 次元面（l ≠ m でもよい）は、接する場合直交し、それ以外は直角（ねじれの位置で）か平行である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には n 本の辺が集まり、互いに直交する。