線分

線分の幾何学的な定義

幾何学における線分（せんぶん、英: Line segment）とは2つの点に挟まれた直線の部分であり、それら端点の間にあるどの点も含む。

通常は端点も含むものとするが、端点を含まないものも線分として認め、端点を含む狭義の線分を閉線分、含まないものを開線分とすることもある。

線分の例として、三角形や四角形の辺が挙げられる。もっと一般に、端点がある1つの多角形の頂点となっている線分は、その端点が多角形の隣接する2頂点であるときその多角形の辺となり、そうでないときには対角線である。端点が円周のような1つの曲線上に載っているとき、その線分はその曲線の弦と呼ばれる。

定義

V を R または C 上のベクトル空間とし、L を V の部分集合とする。L がある適当なベクトル u, v ∈ V を選べば

[math] L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1]\}[/math]

とパラメータ付けできるとき、L は線分（閉線分）であるという。あるいは同じことだが「線分は2点の凸包である」と定義してもよい。

この時、ベクトル u, u + v は L の端点 (end point) と呼ばれる。

線分が「開」か「閉」かの区別を要することもある。このとき、閉線分の定義は上述のもの、開線分 L は u, v ∈ V を選んで

[math] L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in(0,1)\}[/math]

とパラメータ付けできる。片方の端点のみ開いた半開線分は、閉じた方の端点を u ∈ V 、開いた方を u + v ∈ V として

[math] L = \{ \mathbf{u}+t\mathbf{v} \mid t\in[0,1)\}[/math]

となる。

David Hilbert: The Foundations of Geometry. The Open Court Publishing Company 1950, p. 4（邦訳『幾何学基礎論』清水弘文堂書房、1969年。）