正二十面体
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正二十面体（せいにじゅうめんたい、regular icosahedron）は立体の名称の1つ。空間を正三角形20枚で囲んだ凸多面体。3次元空間で最大の面数を持つ正多面体である。
性質
- 辺30本、頂点12個からなる。
- 向かい合う面は平行である。
- 正十二面体とは双対の関係にある。
- 正多面体、デルタ多面体の一種。
- 正反五角柱の両底面に正五角錐を貼り付けた形である。よって、正二十面体を双五角錐反柱 (gyroelongated pentagonal bipyramid) と呼ぶ場合がある。
- 展開図の数は43380種類。
計量
| 面の面積 | [math] A={1\over4}\sqrt3a^2[/math] |
| 表面積 | [math] S=20A=5\sqrt3a^2[/math] |
| 体積 | [math] V=\frac{1}{3}Sr={15+5\sqrt{5}\over12}a^3[/math] |
| 最長対角線の長さ | [math] d={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over2}a[/math] |
| 外接球半径 | [math] R=\frac{d}{2}={\sqrt{10 +2\sqrt{5}}\over4}a[/math] |
| 内接球半径 | [math] r={3\sqrt{3}+\sqrt{15}\over12}a[/math] |
対称性
"「en:Icosahedral symmetry」"
正二十面体の回転対称群は5文字の交代群に同型である。この非可換単純群は5文字の対称群の唯一の非自明な正規部分群である。一般の五次方程式のガロア群は5文字の対称群に同型であり、そしてこの正規部分群が単純で非可換なので、一般の五次方程式は根基での解を有しない。アーベル‐ルフィニの定理の証明はこの単純な事実を用いる。そしてフェリックス・クラインは一般の五次方程式の解析的解法を導く正二十面体的対称性の理論を利用できる本を書いた。{{#invoke:Footnotes | harvard_citation }}詳しい歴史ならびに関係する7文字と11文字の対称性については正二十面体的対称性#関連する幾何学的性質を見よ。
（鏡映を含めた）正二十面体の完全な対称群は完全正二十面体群として知られる。そしてこれは回転対称群と正二十面体の中心を通した鏡映によって生成される、サイズ2の群[math]C_2[/math]の直積に同型である。
脚注
参考文献
- Felix, Klein (1884) (ドイツ語), Vorlesungen über das Ikosaeder und die Auflösung der Gleichungen vom fünften Grade, Teubner
- Klein, Felix (2003-02-20) [1888] (英語), Lectrues on the ikosahedron and the solution of equations of the fifth degree (Dover Phoenix ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-49528-6 - 英訳。
- 『正20面体と5次方程式』 関口次郎訳、シュプリンガー・フェアラーク東京、1997-04-21。ISBN 978-4-431-70692-2。 - 日本語訳。
- 『正20面体と5次方程式』 関口次郎・前田博信訳、丸善出版、2012-08-25、改訂新版。ISBN 978-4-621-06364-4。 - 日本語訳の改訂新版。数学者スロードウィーによる解説・注釈を収録。
関連項目
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Icosahedron”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Weisstein, Eric W. “Regular Icosahedron”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Weisstein, Eric W. “Icosahedral Graph”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。
- Weisstein, Eric W. “Icosahedral Group”. MathWorld（英語）. Template:Cite webの呼び出しエラー：引数 accessdate は必須です。