フェルマー点

ファイル:Fermat Point.svg

フェルマー点

フェルマー点（フェルマーてん、トリチェリ点・等角中心とも呼ばれる）は、三角形の3つの頂点からの距離の合計が最小になる点である。フェルマーが私信の中でこの問題に触れたことから彼の名がつけられている。

作図

フェルマー点は以下のように求められる。

1. 三角形の3辺に対し、それぞれを1辺とする正三角形を三角形の外側に描く。
2. 元の三角形の１つの頂点と，その向かい合う 元の三角形の辺を一辺とする正三角形の頂点のうち，もとの三角形と共有しない頂点とを結ぶ。
3. 2.の3直線が交わる点がフェルマー点である。

1.の正三角形をそれぞれ三角形と同じ側に描いても、2.の直線は1点で交わる。この点を第2フェルマー点という。

フェルマー点の特徴

ファイル:Fermat Point Proof.svg

• 120度以上の角を持たない三角形において、3頂点からの距離の合計が最も小さくなる点である。
  • 120度以上の角を持つ三角形の場合、最も大きい角を持つ頂点がこの性質を満たす。
• 120度以上の角を持たない三角形の場合、フェルマー点 F は三角形の内部にあり、∠AFB=∠BFC=∠CFA=120度 を満たす。
• 作図の項で描いた3つの正三角形の外接円はフェルマー点で交わる。
  • 上であげた3つの外接円の中心は正三角形を描く（ナポレオンの定理）。
• フェルマー点から3辺に下ろした垂線の足は正三角形となる。
• フェルマー点・外心・九点円の中心・第2フェルマー点は同一円周上にある。この円をレスター円という。

歴史

フェルマー点に関する問題は、フェルマーがトリチェリへの私信の中で出題している（このことからこの問題を「トリチェリの問題」という）。トリチェリはフェルマーと似たような方法（頂点を結ぶ直線ではなく外接円の交点を利用している）で解を求めている。トリチェリの弟子であったヴィヴィアーニが1659年に解を発表している。

関連項目

• キーペルト双曲線
• 三角形の中心
• ナポレオンの定理

外部リンク

• テンプレート:高校数学の美しい物語
• Weisstein, Eric W. “Fermat Points”. MathWorld（英語）.
• Weisstein, Eric W. “First Fermat Point”. MathWorld（英語）.
• Weisstein, Eric W. “Second Fermat Point”. MathWorld（英語）.