正単体
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ファイル:Complete graph K3.svg
2次元正単体(正三角形)
ファイル:Tetrahedron.svg
3次元正単体(正四面体)
正単体(せいたんたい、regular simplex)は、2次元の正三角形、3次元の正四面体、4次元の正五胞体を各次元に一般化した正多胞体。なお、0次元正単体は点、1次元正軸体は線分である。
また言い換えると、単体である正多胞体、つまり、辺の長さが全て等しい単体である。
[math]\alpha[/math]体(アルファたい)ともいい、n (n ≥ 0) 次元正単体を [math]\alpha_n[/math] と書く。
超立方体(正測体)、正軸体と並んで、5次元以上での3種類の正多胞体の1つである。
作図
n 次元正単体は、n + 1 次元空間内で作図するのが簡単である。[math](1, 0, 0, \cdots , 0)[/math] の巡回
- [math](1, 0, 0, \cdots , 0), (0, 1, 0, \cdots , 0), \cdots, (0, 0, \cdots , 0, 1)[/math]
n 次元空間内で作図するには、
などがある。
性質
特にことわらない限り、辺の長さが a の n 次元正単体について述べる。
超体積は、
- [math]\frac{ \sqrt{n+1} }{ n! \sqrt{2^n} } a^n[/math]
超表面積は
- [math]\frac{ (n+1) \sqrt{n} }{ (n-1)! \sqrt{ 2^{n-1} } } a^{n-1}[/math]
である。
ファセット (m - 1 次元面) は n - 1 次元超単体である。したがって一般に、m 次元面は m 次元正単体である。たとえば、面は正三角形、胞は正四面体である。
m 次元面の個数は
- [math]{}_{n+1}\operatorname{C}_{m+1}[/math]
である。特に、頂点とファセットはそれぞれ [math]n + 1[/math] 個である。
自らと双対である。
ペトリー多胞体は n - 1 次元正軸体である。たとえば、正四面体のペトリー多角形は正方形である。