レムニスケート周率
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レムニスケート周率(レムニスケートしゅうりつ、英: lemniscate constant)とは、円周率のレムニスケートにおける対応物である。レムニスケートを研究する過程で「発見」され、特にガウスが深く研究したとされる。
通常は、ギリシャ文字のパイの小文字 π の異字体 ϖ(オメガの小文字 (ω) の上に横棒を1本つけたような形)で表され、実際の数値は、
- ϖ = 2.622057554292119810464839589891...(オンライン整数列大辞典の数列 A062539)
(小数点以下30桁まで)である。なお、長さのパラメータ単位を1としたとき、レムニスケートの周長は、(円の周長が、円周率の倍の値であるのと同様に)レムニスケート周率の倍の値となる。
レムニスケート周率は、第一種完全楕円積分で表され、無理数でもあり、超越数でもある。
すなわち、次の式により求めることができる。
- [math]\varpi=2\int_{0}^{1} \frac{dr}{\sqrt{1-r^4}}=\sqrt 2 K\left(\frac{1}{\sqrt 2}\right)=\frac{\Gamma \left(\frac14 \right)^2}{2^{3/2}\pi^{1/2}}[/math]
ただし、ここで r は、レムニスケートの極座標表示
- [math]r^2=\cos 2\theta\, [/math]
の r である。
なお、これと対比して、円周率 π は、次の式で求めることができる。
- [math]\pi=2\int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}}[/math]
外部リンク
- Weisstein, Eric W. “Lemniscate Constant”. MathWorld(英語). Template:Cite webの呼び出しエラー:引数 accessdate は必須です。