「等差数列」の版間の差分

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{{出典の明記|date=2017年7月}}
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'''等差数列'''（とうさすうれつ、{{lang-en-short|''arithmetic progression'', ''arithmetic sequence''}}; '''算術数列'''）
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[[数学]]における'''等差数列'''（とうさすうれつ、{{lang-en-short|''arithmetic progression'', ''arithmetic sequence''}}; '''算術数列'''）とは、「隣接する項が共通の差（'''公差'''）を持つ[[数列]]」({{en|sequence of numbers with common difference}}) を言う。例えば、{{math|5, 7, 9, 11, 13, …}} は{{nowrap|公差 {{math|2}}}}の等差数列である。
 
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算術数列の初項を {{math|''a''{{sub|1}}}} とし、その公差を {{mvar|d}} とすれば、{{mvar|n}}-番目の項 {{mvar|a{{sub|n}}}} は <math display="block">a_n = a_1 + (n - 1)d</math> であり、一般に <math display="block">a_n = a_m + (n - m)d</math>と書くことができる。
 
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有限個の項しか持たない算術数列は'''有限算術数列'''とよび、[[初等数学]]ではしばしばそれを単に等差数列と呼ぶ。有限算術数列の和は'''算術級数''' ({{en|arithmetic series}}) と言う。
 
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算術数列の振る舞いは公差 {{mvar|d}} に依って決まる:
 
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* {{mvar|d}} が正ならば、数列の項は正の[[無限大]]に発散する。
 
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* {{mvar|d}} が負ならば、数列の項は負の無限大に発散する。
 
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== 総和 ==
 
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<div class="thumb tright">
 
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<div class="thumbinner" style="width:220px;">
 
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{| style="background-color:white; width:220px;"
 
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| 2 || + || 5 || + || 8 || + || 11 || + || 14 || = || 40
 
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|-
 
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| 14 || + || 11 || + || 8 || + || 5 || + || 2 || = || 40
 
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|-
 
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|colspan=11|<hr>
 
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|-
 
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| 16 || + || 16 || + ||  16 || + ||  16 || + ||  16 || = || 80
 
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|}
 
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<div class="thumbcaption">
 
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和 {{math|2 + 5 + 8 + 11 + 14}} の計算。もとの数列を逆順にした数列を用意して、もとの数列と項ごとに加えると、得られる数列は同じ一つの値を繰り返す（その値はもとの数列の初項と末項の和）。ゆえに、{{math|2 + 14 {{=}} 16}}, {{math|16 &times; 5 {{=}} 80}} が求める和の二倍に等しい。
 
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</div>
 
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</div>
 
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</div>
 
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{{seealso|[[無限算術級数]]}}
 
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通例、'''有限'''算術数列の和を'''算術級数'''と言う{{efn|通常の意味では[[無限算術級数]]は[[発散級数|発散]]するから、その和はそもそも無意味である。}}。公差 ''d'' の等差数列の ''n'' 個の項 ''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> の総和は、<math display="block">S_n = a_1+a_2+\dots+a_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2} =\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d ]}{2}</math>と表される。この種の式は、[[ピサのレオナルド]]（一般には[[レオナルド・フィボナッチ|フィボナッチ]]として知られる）が記した『[[算盤の書]]』（"''Liber Abaci''"; [[1202年]], ch. II.12）に登場する。よく聞かれる伝承として、[[カール・フリードリヒ・ガウス]]がこの式を再発見した話がある。彼が3年生のときに、教師[[J. G. Bütner]]が生徒たちに1から100までの合計を求めさせたところ、彼は即座に答(5050)を出したため、Bütner と助手の{{ill2|Martin Bartels|en|Johann Christian Martin Bartels}}）がいたく驚いた、というものである。
 
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[[File:Animated proof for the formula giving the sum of the first integers 1+2+...+n.gif|thumb|[https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/28/Animated_proof_for_the_formula_giving_the_sum_of_the_first_integers_1%2B2%2B...%2Bn.gif GIF動画]: 自然数の和 {{math|1 + 2 + ⋯ + ''n''}} を求める公式の導出]]
 
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;導出: 等差数列の総和を順番を変えて <math display="block">\begin{align}
 
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S_n &=\color{red}a_1\color{green}+(a_1+d)\color{blue}+(a_1+2d)\color{black}+\dotsb\color{magenta}+(a_1+(n-1)d)\\[5pt]
 
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S_n &=\color{red}a_n\color{green}+(a_n-d)\color{blue}+(a_n-2d)\color{black}+\dotsb\color{magenta}+(a_n-(n-1)d)
 
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\end{align}</math> と二通りに表し、両辺を項ごとに足し合わせる。すると右辺では各項で {{mvar|d}} を含む成分がすべて相殺されて初項と末項の和だけが残り、それが ''n'' 項続いて {{math|2''S{{sub|n}}'' {{=}} ''n''(''a''{{sub|1}} + ''a{{sub|n}}'')}} となる。両辺を {{math|2}} で割れば <math display="block"> S_n=\frac{n( a_1 + a_n)}{2}=\frac{n[ 2a_1 + (n-1)d]}{2}</math>を得る。
 
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そして等差級数の平均値 {{mvar|S{{sub|n}}/n}} は、明らかに {{math|(''a''<sub>1</sub> + ''a''<sub>''n''</sub>)/2}} である。499年に、インド[[インドの数学|数学]]・{{ill2|インドの天文学|en|Indian astronomy|label=天文学}}古典期の傑物[[数学者|数学]]・[[天文学者]]である[[アーリヤバタ]]は、{{ill2|Aryabhatiya|en|Aryabhatiya}} (section 2.18) でこのような方法を与えている。
 
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== 総乗 ==
 
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初項 ''a''<sub>1</sub> で、公差 ''d'' である総項数 ''n'' の等差数列に対して、項を全て掛け合わせた[[総乗]]<math display="block">\begin{align} P_n := a_1\cdot a_2\cdot \cdots\cdot a_n
 
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& = a_1\cdot (a_1 + d)\cdot (a_1 + 2d)\cdot\dotsb\cdot(a_1 + (n-1)d)\\
 
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& = d\frac{a_1}{d} \cdot d\left(\frac{a_1}{d}+1 \right)\cdot d \left(\frac{a_1}{d}+2 \right)\cdot\cdots\cdot d\left(\frac{a_1}{d}+n-1 \right)
 
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= d^n {\left(\frac{a_1}{d}\right)}^{\overline{n}}
 
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\end{align}</math> （<math>x^{\overline{n}}</math> は[[上昇階乗冪]]）は[[ガンマ関数]] {{math|&Gamma;}} を用いて<math display="block">P_n
 
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= d^n \frac{\Gamma \left(a_1/d + n\right) }{\Gamma \left( a_1 / d \right) }</math>という{{ill2|閉じた式|en|Closed-form expression}}によって計算できる（ただし、{{math|''a''{{sub|1}}/''d''}} が負の整数や {{math|0}} となる場合は、式は意味を持たない）。{{math|1=Γ(''n'' + 1) = ''n''!}} に注意すれば、上記の式は、{{math|1}} から {{mvar|n}} までの積 {{math|1 × 2 × ⋯ × ''n'' {{=}} ''n''!}} および正の整数 {{mvar|m}} から {{mvar|n}} までの積 {{math|1=''m'' × (''m'' + 1) × ⋯ × (''n'' &minus; 1) × ''n'' = ''n''!/(''m'' &minus; 1)!}} を一般化するものであることが分かる。
 
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== 算術数列の共通項 ==
 
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任意の両側無限算術数列が二つ与えられたとき、それらに共通に表れる項を（項の前後関係は変えずに）並べて与えられる数列（数列の「交わり」）は、空数列であるか別の新たな算術数列であるかのどちらかである（[[中国の剰余定理]]から示せる）。両側無限算術数列からなる[[族 (数学)|族]]に対し、どの二つの数列の交わりも空でないならば、その族の全ての数列に共通する項が存在する。すなわち、そのような無限算術数列の族は{{ill2|ヘリー族|en|Helly family}}である<ref>{{citation
 
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| last = Duchet
 
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| first = Pierre
 
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| editor1-last = Graham | editor1-first = R. L.
 
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| editor2-last = Grötschel | editor2-first = M.
 
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| editor3-last = Lovász | editor3-first = L.
 
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| contribution = Hypergraphs
 
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| location = Amsterdam
 
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| mr = 1373663
 
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| pages = 381–432
 
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| publisher = Elsevier
 
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| title = Handbook of combinatorics, Vol. 1, 2
 
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| year = 1995
 
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}}. See in particular Section 2.5, "Helly Property", [https://books.google.com/books?id=5Y9NCwlx63IC&pg=PA393 pp.&nbsp;393–394].</ref>。しかし、無限個の無限算術数列の交わりをとれば、無限数列ではなくただ一つの数となり得る。
 
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== 注 ==
 
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=== 注釈 ===
 
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{{notelist}}
 
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=== 出典 ===
 
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{{reflist}}
 
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== 関連項目 ==
 
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* [[線型差分方程式]]
 
−
* [[算術&sdot;幾何数列]]: (算術数列)×(幾何数列)-形の数列
 
−
* [[一般化算術数列]]: 算術数列の構成を複数の差を用いて行ったもの
 
−
* [[調和数列]]
 
−
* {{ill2|三辺が算術整数列を成すヘロン三角形|en|Integer triangle#Heronian triangles with sides in arithmetic progression}}
 
−
* {{ill2|算術数列を含む問題|en|Problems involving arithmetic progressions}}
 
−
* [[Utonality]]
 
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== 参考文献 ==
 
−
*{{cite book
 
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| title = Fibonacci's Liber Abaci
 
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| author = Sigler, Laurence E. (trans.)
 
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| publisher = Springer-Verlag
 
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| year = 2002
 
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| id = ISBN 0-387-95419-8
 
−
| pages = 259–260}}
 
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==外部リンク==
 
−
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticProgression|title=Arithmetic Progression}}
 
−
* {{MathWorld|urlname=ArithmeticSeries|title=Arithmetic Series}}
 
−
* {{SpringerEOM|urlname=Arithmetic_progression|title=Arithmetic progression}}
 
−
* {{PlanetMath|urlname=ArithmeticProgression|title=arithmetic progression}}
 
−
* {{ProofWiki|urlname=Definition:Arithmetic_Progression|title=Definition:Arithmetic Progression}}
 
−
* {{ProofWiki|urlname=Sum_of_Arithmetic_Progression|title=Sum of Arithmetic Progression}}
 
  
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算術数列ともいう。たとえば，数列 1 ，3，5，7，9，…のように，数列 <i>a</i>
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<sub>1</sub> ，<i>a</i>
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<sub>2</sub> ，<i>a</i>
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<sub>3</sub> ，…，<i>a<sub>n</sub>
 +
    </i> ，…において，各数 <i>a<sub>n</sub>
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    </i> が，そのすぐ前の数 <i>a<sub>n</sub>
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    </i>
 +
<sub>-1</sub> に一定数 <i>d</i> を加えることによって得られるとき，すなわち <i>a<sub>n</sub>
 +
    </i>＝<i>a<sub>n</sub>
 +
    </i>
 +
<sub>-1</sub>＋<i>d</i> を満たす数列であるとき，この数列を等差数列といい，AP と略記する。各数 <i>a<sub>n</sub>
 +
    </i> をこの数列の項，第1項 <i>a</i>
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<sub>1</sub> を初項，<i>d</i>  ( ＝<i>a<sub>n</sub>
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    </i>－<i>a<sub>n</sub>
 +
    </i>
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<sub>-1</sub> ) を公差という。また <i>d</i>＞0 ならば増加数列，<i>d</i>＜0 ならば減少数列になる。初項が <i>a</i>
 +
<sub>1</sub> ，公差が <i>d</i> の等差数列の，初項から第 <i>n</i> 項 <i>a<sub>n</sub>
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    </i>＝<i>a</i>
 +
<sub>1</sub>＋(<i>n</i>－1)<i>d</i> までの和 <i>S<sub>n</sub>
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    </i> は，<i>S<sub>n</sub>
 +
    </i>＝(<i>a</i>
 +
<sub>1</sub>＋<i>a<sub>n</sub>
 +
    </i>)・<i>n</i>/2＝<i>na</i>
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<sub>1</sub>＋<i>n</i>(<i>n</i>－1)<i>d</i>/2 の公式で求められる。 <i>S<sub>n</sub>
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    </i> を単に等差数列の和ということもある。
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{{math-stub}}

2019/6/7/ (金) 09:31時点における版

等差数列（とうさすうれつ、英: arithmetic progression, arithmetic sequence; 算術数列）

算術数列ともいう。たとえば，数列 1 ，3，5，7，9，…のように，数列 a 

1 ，a
2 ，a
3 ，…，an
    ，…において，各数 an
    が，そのすぐ前の数 an
   
-1 に一定数 d を加えることによって得られるとき，すなわち an
   ＝an
   
-1＋d を満たす数列であるとき，この数列を等差数列といい，AP と略記する。各数 an
    をこの数列の項，第1項 a
1 を初項，d  ( ＝an
   －an
   
-1 ) を公差という。また d＞0 ならば増加数列，d＜0 ならば減少数列になる。初項が a
1 ，公差が d の等差数列の，初項から第 n 項 an
   ＝a
1＋(n－1)d までの和 Sn
    は，Sn
   ＝(a
1＋an
   )・n/2＝na
1＋n(n－1)d/2 の公式で求められる。 Sn
    を単に等差数列の和ということもある。


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