零行列

数学において、零行列（ぜろぎょうれつ、れいぎょうれつ、zero matrix, null matrix）とは、その成分（要素）が全て 0 の行列。O あるいは 0 と記述されることが多い。

[math]0 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}[/math]

また、下付き添字によって行列の型を明記することもある。

[math] O_2 = O_{2,2} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, O_{2,3} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} [/math]

自明な線形変換である零作用素を表す行列であり、正方行列の場合には行列環の零元を与えている。

性質

以下、l, m, n は任意の自然数とする。

• m 行 n 列の零行列 O と m 行 n 列の任意の行列 A の和は A + O = O + A = A となり、差は A − O = A, O − A = −A となる。
• l 行 m 列の零行列 O と m 行 n 列の任意の行列 A の積 OA は、l 行 n 列の零行列となる。
• l 行 m 列の任意の行列 B と m 行 n 列の零行列 O の積 BO は、l 行 n 列の零行列となる。

これらのことから、n 次の正方行列全体のなす環を考えているとき、零行列はその零元になる。

関連項目

• 単位行列
• 冪零行列