ルベーグ測度

数学におけるルベーグ測度（ルベーグそくど、英: Lebesgue measure）は、ユークリッド空間上の長さ、面積、体積の概念を拡張したものである。名称はフランスの数学者アンリ・ルベーグにちなむ。体積には「互いに素な集合の体積は元の体積の和に等しい」という性質（加法性）がある。この性質を保ちながらより複雑な集合に対しても「体積」を定めることができるよう体積の概念を拡張できる。このような拡張は一意である。実解析、特にルベーグ積分で用いられる。体積と同様ルベーグ測度は値として ∞ をとりうる。解析学で普通に考えられるような集合に対してはルベーグ測度が与えられるものと考えてよいが、選択公理によって Rⁿ の部分集合でルベーグ測度を与えることができない（無理に与えると加法性が成り立たない）ものが存在することを証明できる。ルベーグ測度が与えられる集合はルベーグ可測であるという。以下の説明ではルベーグ可測な集合 A の測度を λ(A) で表す。

例

• 閉区間 テンプレート:Closed-closed の一次元ルベーグ測度は b − a である。開区間 テンプレート:Open-open の一次元ルベーグ測度も閉区間との差集合（つまり両端点のみからなる二元から成る集合 {a, b}）の測度が 0 であることから、同じく b − a である。
• 二次元の集合 A が、一次元区間 テンプレート:Closed-closed と テンプレート:Closed-closed の 直積集合（つまり辺が軸に平行な長方形）であれば、A の二次元ルベーグ測度は、一次元ルベーグ測度の積 (b − a)(d − c) に等しい。
• 可算集合のルベーグ測度は必ず 0 である。カントール集合は、測度 0 の非可算集合の例である。

性質

n-次元ユークリッド空間 Rⁿ の n-次元ルベーグ測度 λテンプレート:Exp あるいは簡単に λ は次のような性質を持つ。

1. A を一次元区間の直積： I₁ × I₂ × ⋯ × I_n とする。このとき A はルベーグ可測で λ(A) = テンプレート:Abs⋅テンプレート:Abs⋯テンプレート:Abs である。ただしここで、テンプレート:Abs は区間 J の長さを意味している。
2. A をどの二つも互いに素な高々可算個のルベーグ可測集合の合併とするとき、A はルベーグ可測で λ(A) は、各集合の測度の和に等しい。
3. A がルベーグ可測ならば、A の補集合も可測である。
4. 任意のルベーグ可測集合 A について λ(A) ≥ 0 である。
5. ルベーグ可測集合 A, B について、A ⊆ B ⇒ λ(A) ≤ λ(B) である。
6. 可算個のルベーグ可測集合の和集合や共通部分は、ルベーグ可測である。
7. Rⁿ の開集合や閉集合はルベーグ可測である。
8. λ(A) = 0 となるルベーグ可測集合 A (これを零集合という) について、A の部分集合はすべて零集合である。
9. A をルベーグ可測集合、x を Rⁿ の元とする。x による A の平行移動を A + x テンプレート:Coloneqq {a + x | a ∈ A} と定義するとき、A + x はルベーグ可測で A と測度が同じである。

ルベーグ測度の構成

ルベーグ測度の現代的構成はカラテオドリの拡張定理を利用する、以下のようなものである。

自然数 n を固定して、Rⁿ 内の（n-次元）区間あるいは超矩形 (box) とは、（一次元）区間の直積

[math]B=\prod_{i=1}^n [a_i,b_i][/math]

の形（但し、b_i ≥ a_i であるものとする）に書ける Rⁿ の部分集合の総称である。この区間 B の容積 vol(B) は

[math]\operatorname{vol}(B) := \prod_{i=1}^n (b_i-a_i)[/math]

で与えられる。Rⁿ の（高々）可算個の区間からなる区間族を総称して、Rⁿ の区間塊という。

Rⁿ の任意の部分集合 A に対して、Rⁿ の区間塊をテンプレート:Mathbf とするとき、A のルベーグ外測度 λ*(A) を

[math]\lambda^*(A) := \inf_{\mathbf{B}}\Big\{\sum_{B\in \mathbf{B}}\operatorname{vol}(B)\Bigr\}[/math]

で定める。ただしここでの下限は、その和が A を被覆するような区間塊 テンプレート:Mathbf 全体に亘ってとるものとする（そのような被覆が存在しない場合は下限は ∞ であると約束する）。さらに、Rⁿ の部分集合 A がルベーグ可測であるとは、Rⁿ の任意の部分集合 S に対して、カラテオドリの条件が成り立つこと：

[math]\lambda^*(S) = \lambda^*(A \cap S) + \lambda^*(S - A)[/math]

を満たすこととする。ルベーグ可測な集合全体は完全加法族を成し、そのうえのルベーグ測度 λ が、任意のルベーグ可測集合 A に対して λ(A) テンプレート:Coloneqq λ*(A) とおくことによって与えられる。

ヴィタリの定理によれば、実数全体 テンプレート:Mathbf の部分集合でルベーグ可測でないものが存在する。もっと一般に、Rⁿ の任意の部分集合 A に対し、A はルベーグ非可測な部分集合を必ず含む。

他の測度との関係

• ボレル測度が定義される集合については、ルベーグ測度と一致する。しかし、ボレル可測でないがルベーグ可測な集合も多く存在する。ボレル測度は平行移動不変だが、完備ではない。
• 局所コンパクト群で定義されるハール測度はルベーグ測度の一般化である。
• ハウスドルフ測度(参考:ハウスドルフ次元)は、Rⁿ 上のn次元以下の集合の測度を決めるのに役立つルベーグ測度の一般化である。

その他

ルベーグ可測でない集合の "奇妙な" ふるまいとしては、選択公理の結果であるバナッハ＝タルスキーのパラドックスがあげられる。

歴史

アンリ・ルベーグが1899年から1901年にかけてフランスの科学誌「コント・ランデュ」に投稿した 6 報の論文のうち、最初のものを除く 5 報が測度に関するものであった。その内容は、続く1902年に、彼の博士論文「積分・長さ・面積」の一部として発表された。

関連項目

• 測度
• ルベーグ積分
• ルベーグの密度定理
• 完全加法族
• 外測度

外部リンク

• Weisstein, Eric W. “Lebesgue Measure”. MathWorld（英語）.
• Lebesgue measure - PlanetMath.（英語）
• {{#invoke:citation/CS1|citation

|CitationClass=citation }}

• Lebesgue measure in nLab
• テンプレート:ProofWiki