閉集合
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閉集合（へいしゅうごう、英: closed set）は、その補集合が開集合となる集合のこと。距離空間の場合はその部分集合の元からなる任意の収束点列の極限がその部分集合の元であることと一致するので、それを定義としてもよい。
例えば、数直線上で不等式 0 ≤ x ≤ 1 によって定まる集合は閉区間と呼ばれるが、これは閉集合である。なぜならば、その補集合である x < 0 または x > 1 を満たす区間が開集合となるからである。 不等式を 0 < x < 1 としたものや 0 ≤ x < 1 としたものは、閉集合ではない。 また、連続関数 [math]f(x,y)[/math] を使って、[math]\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid f(x,y)\le c\}[/math] と表される集合は平面の閉集合である。円周も平面の閉集合である。
次の性質を満たす集合 X の部分集合の族 F があると、 F の元が閉集合であるような位相が X に定まる。
- 空集合と X 自身は F の元
- G と H が F の元のとき、G と H の和集合は F の元
- {Fa}を F の元からなる族とするとき、共通部分 [math]\bigcap_a F_a[/math] はF の元
このように位相を定義するときは、開集合を閉集合の補集合として定義する。
性質
- 必ずしも有限個でない閉集合の共通部分は閉集合である。
- 有限個の閉集合の和集合は閉集合である。無限個の場合はその限りではない。
- 閉集合の補集合は開集合であり、また開集合の補集合は閉集合である。
参考文献
- 内田伏一 『位相入門』 裳華房、1997年。