特異測度

数学の分野において、ある可測空間 (Ω, Σ) 上で定義される二つの正（あるいは符号付または複素）測度 μ および ν が特異（とくい、英: singular）であるとは、Σ 内の二つの互いに素な集合 A と B で、その合併が Ω であり、B のすべての可測部分集合上で μ がゼロとなり、A のすべての可測部分集合上で ν がゼロとなるようなものが存在することを言う。この関係は [math]\mu \perp \nu [/math] と表される。

ルベーグの分解定理の改良されたものにおいては、特異測度をある特異連続測度と離散測度に区分している。例としては下記を参照されたい。

Rⁿ 上の例

特別な例として、ユークリッド空間 Rⁿ 上のある測度が特異的であるとは、それがその空間上のルベーグ測度に関して特異的であることを言う。例えば、ディラックのデルタ関数は特異測度である。

例 離散測度

実数直線上のヘヴィサイドの階段関数

[math]H(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=} \begin{cases} 0, & x \lt 0; \\ 1, & x \geq 0; \end{cases}[/math]

は、その分布的導関数（distributional derivative）としてディラックのデルタ関数 [math]\delta_0[/math] を持つ。これは実数直線上の測度で、0 において点質量（point mass）を持つ。しかし、ディラック測度 [math]\delta_0[/math] はルベーグ測度 [math]\lambda[/math] に関して絶対連続ではなく、[math]\lambda[/math] も [math]\delta_0[/math] に関して絶対連続では無い。すなわち、[math]\lambda ( \{ 0 \} ) = 0[/math] であるが [math]\delta_0 ( \{ 0 \} ) = 1[/math] であり、また [math]U[/math] を任意の開集合で 0 を含まないものとするなら、[math]\lambda (U) \gt 0[/math] であるが [math]\delta_0 (U) = 0[/math] である。

例 特異連続測度

カントール分布は連続であるが絶対連続では無い累積分布関数であり、実際その絶対連続な部分はゼロである。すなわち、この分布は特異連続である。

関連項目

• ルベーグの分解定理
• 絶対連続
• 特異分布

参考文献

• Eric W Weisstein, CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2.
• J Taylor, An Introduction to Measure and Probability, Springer, 1996. ISBN 0-387-94830-9.