正規拡大

抽象代数学において、体の代数拡大 L/K は、L が K[X] の多項式の族の分解体(splitting field)であるときに、正規（英: normal）という。ブルバキはそのような拡大を準ガロワ拡大(quasi-Galois extension) と呼んでいる。

同値な性質、および例

L/K の正規性は以下の性質のいずれとも同値である。K^a を K の L を含む代数的閉包とする。

• K 上恒等写像であるような L の K^a へのすべての埋め込み は σ(L) = L を満たす。言い換えると、σ は L の K-同型である。
• L に根をもつような K[X] のすべての既約多項式は L に根をすべてもつ。すなわち、L[X] において一次式に分解する。（多項式は L で 分解する (split) と言う。）

L が K の有限次分離拡大（例えば、これは K が有限体か標数 0 であれば自動的に満たされる）であれば、次の性質もまた同値である。

• 根が K の元とともに L を生成するような既約多項式が存在する。（L はその多項式の分解体であると言う。）

例えば、[math]\mathbb{Q}(\sqrt{2})[/math] は [math]\mathbb{Q}[/math] の正規拡大である。なぜならば、x² − 2 の分解体だからである。一方、[math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] は [math]\mathbb{Q}[/math] の正規拡大ではない。なぜならば、既約多項式 x³ − 2 はその中に1つの根（すなわち [math]\sqrt[3]{2}[/math]）をもつが、すべてではない（2 の虚3乗根をもたない）からである。

[math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] は [math]\mathbb{Q}[/math] の正規拡大でないという事実は上記3つの性質のうちの1つ目を使っても確かめられる。代数的数体 [math]\mathbb{A}[/math] は [math]\mathbb{Q}[/math] の代数的閉包であって [math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] を含む。一方、

[math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})=\{a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}\in\mathbb{A}\,|\,a,b,c\in\mathbb{Q}\}[/math]

であり、ω を2の虚三乗根の1つとすれば、写像

[math]\begin{array}{rccc}\sigma:&\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})&\longrightarrow&\mathbb{A}\\&a+b\sqrt[3]{2}+c\sqrt[3]{4}&\mapsto&a+b\omega\sqrt[3]{2}+c\omega^2\sqrt[3]{4}\end{array}[/math]

は [math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] の [math]\mathbb{A}[/math] への埋め込みであって、[math]\mathbb{Q}[/math] への制限は恒等写像である。しかしながら、σ は [math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] の同型写像ではない。

任意の素数 p に対して、拡大 [math]\mathbb{Q}(\sqrt[p]{2}, \zeta_p)[/math] は次数 p(p − 1) の正規拡大である。これは x^p − 2 の分解体である。ここで [math]\zeta_p[/math] は任意の 1 の原始 p 乗根を表す。体 [math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2}, \zeta_3)[/math] は [math]\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})[/math] の正規閉包（下記参照）である。

他の性質

L を体 K の拡大とすると、

• L が K の正規拡大で E が中間体（すなわち L ⊃ E ⊃ K）であれば、L は E の正規拡大である。E は K の正規拡大とは限らない。

• E と F が L に含まれる K の正規拡大であれば、合成体 EF および共通部分 E ∩ F も K の正規拡大である。

正規閉包

K が体で L が K の代数拡大であれば、L の代数拡大 M が存在して M は K の正規拡大となる。しかも、同型を除いて、極小な、つまり、L を含み K の正規拡大であるような M の唯一の部分体は M 自身であるような、そのような拡大は唯一である。この拡大は K の拡大 L の正規閉包 (normal closure) と呼ばれる。

L が K の有限次拡大であれば、その正規閉包もまた有限次拡大である。

関連項目

• ガロワ拡大
• 正規基底 (Normal basis)

参考文献

• テンプレート:Lang Algebra
• Jacobson, Nathan (1989), Basic Algebra II (2nd ed.), W. H. Freeman, ISBN 0-7167-1933-9