数ベクトル空間

数ベクトル空間（すうべくとるくうかん、space of numerical vectors, numerical vector space）とは、「“数”の組からなる空間」（数空間）を自然にベクトル空間と見たものである。

ここでいう“数”の集合 K は四則の定められた代数系、殊に可換体で順序や位相の定められたものを指している。実数全体の成す体 R や複素数全体の成す体 C は典型的であるが、代数体や有限体あるいはその局所化などの上で数ベクトル空間を考えることもある。関数体の上で考える場合は関数空間として捉える方が妥当である。

定義

体 K 上の n-次元数ベクトル空間は、K の n 個の直積集合 Kⁿ を台集合として、成分ごとの演算

[math](x_1, x_2, \ldots, x_n) + (y_1, y_2, \ldots, y_n) := (x_1 + y_1, x_2 + y_2, \ldots, x_n + y_n)[/math]

[math]\alpha_{\lambda}(x_1, x_2, \ldots, x_n) := (\lambda x_1, \lambda x_2, \ldots, \lambda x_n)[/math]

を備えたベクトル空間 (Kⁿ, +, {α_λ}_λ∈K) である。

標準座標空間

数ベクトル空間 Kⁿ には標準基底 (canonical basis, standard basis)

[math]\begin{align} \mathbf{e}_1 &= (1,0,0,\ldots,0),\\ \mathbf{e}_2 &= (0,1,0,\ldots,0),\\ \mathbf{e}_3 &= (0,0,1,\ldots,0),\\ &\ \vdots \\ \mathbf{e}_n &= (0,0,0,\ldots,1)\\ \end{align}[/math]

が存在して、Kⁿ の任意のベクトルは

[math](x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_{i=0}^{n}x_i\mathbf{e}_i[/math]

という線型結合の形に書き表すことができる。標準基底は明らかに Kテンプレート:Exp の基底であり、Kテンプレート:Exp は K 上のベクトル空間として n-次元である。

標準内積

[math](x_1, x_2, \ldots, x_n)\cdot(y_1, y_2, \ldots, y_n) := x_1 y_1 + x_2 y_2 + \cdots + x_n y_n[/math]

アフィン構造

標準内積を考えない場合の数ベクトル空間をとくに n 次元アフィン空間 Aⁿ = A_Kⁿ と呼ぶことがある。これはアフィン変換で閉じている。正則アフィン変換は直交群と平行移動群の直和に位相群として分解される。

実数体 R 上のアフィン空間 Aⁿ = A_Rⁿ はユークリッド空間 Eⁿ に付随して座標や平行移動を表す空間と見なされ、Eⁿ のなかで平行性や線型独立性など、距離に依存しない性質を扱うことができる。

一般のベクトル空間との関係

有限次元ベクトル空間は基底を選ぶことにより、次元の同じ数ベクトル空間に同型となるため、有限次元の抽象ベクトル空間の分類は次元によって支配されているということができる。

類似概念

"「数列空間」および「函数空間」"

無限次元の数ベクトル空間と呼ぶべきものについては、その位相についての議論を避けることはできないが、いくつか存在する。例えば、次元が十分大きな数空間 Kⁿ の n を限りなく大きくとることの極限として得られる可算次元空間

[math]\mathbb{K}^{\infty} = \bigoplus_{n=0}^{\infty} \mathbb{K} = \varinjlim_{n\to\infty}\mathbb{K}^n = \bigcup_{n=0}^{\infty}\mathbb{K}^n[/math]

や、座標が無限数列となるような可算次元空間

[math]\mathbb{K}^{\mathbb{N}} = \mathrm{Map}(\mathbb{N},\mathbb{K}) = \prod_{n=0}^{\infty}\mathbb{K} = \varprojlim_{n\to\infty}\mathbb{K}^n[/math]

や、あるいはもっと濃度の大きな集合で添字付けられるようなものも同様に想定できるが、これらはもはや関数空間として扱われるようなものである。

関連項目

• 座標空間
• 実 n-次元数空間
• 複素 n-次元数空間