幾何ブラウン運動
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幾何ブラウン運動 (きかぶらうんうんどう、英: geometric (fractional) Brownian motion (GBM)) は、対数変動が平均μ分散σのブラウン運動にしたがう連続時間の 確率過程[1]で、金融市場に関するモデルや、金融工学におけるオプション価格のモデルでよく利用されている。GBMの増分が St に対する比として表されることから幾何(geometric)の名称がつけられている。[2]
定義
次の確率微分方程式にしたがう確率過程 St を幾何ブラウン運動という。
- [math] dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_t [/math]
ここで、
- dSt は 増分。 例：金融商品の価格の変化。
- dBt は ブラウン運動の増分。
- μは(現在の St に対する割合であらわした)平均。
- σは(現在の St に対する割合であらわした)ボラティリティ。
上記の確率微分方程式は伊藤の公式をもちいて次のように書き換えることができる。
- [math] d\log{S_t} = \left(\mu-\frac{\sigma^2}{2}\right) \,dt + \sigma \,dB_t [/math]
解
初期値を S0 とすると、解は次のように表せる。
- [math] S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma B_t\right),[/math]
統計的性質
幾何ブラウン運動の確率変数 log(St /S0) は、平均(μ-σ2/2)t 分散 σ2t の対数正規分布にしたがい、その平均と分散は以下のように表せる。
- [math]\mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0[/math]
- [math]\operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).[/math]
非整数ブラウン運動への拡張
ブラウン運動 Bt を非整数ブラウン運動 BH,t にまで拡張した時の確率微分方程式は
- [math] dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dB_{H,t} [/math]
となる。ここで、dBH,t はハースト指数 H の非整数ブラウン運動の増分。
解は、
- [math] S_t = S_0\exp\left( \mu t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^{2H} + \sigma B_{H,t}\right),[/math]
となる。[3]
脚注
- ↑ Introduction to Probability Models by Sheldon M. Ross, 2007 Section 10.3.2
- ↑ (訳者注)幾何級数(geometric sequence)と同様。
- ↑ Stochastic calculus for fractional Brownian motion and applications, By Francesca Biagini, Yaozhong Hu, Bernt Öksendal, Tusheng Zhang, Springer, 2008