圧縮 (関数解析学)
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数学の関数解析学の分野において、あるヒルベルト空間からある部分空間 K への線型作用素 T の圧縮（あっしゅく、英: compression）とは、次の作用素のことを言う。
- [math]P_K T \vert_K : K \rightarrow K. [/math]
ここで [math]P_K : H \rightarrow K[/math] は K の上への直交射影である。これは全体のヒルベルト空間上のある作用素から、K 上のある作用素を得るために自然に用いられる。K が T についての不変部分空間であるなら、T の K への圧縮は k を Tk へ写す制限 K→K である。
より一般に、ヒルベルト空間 [math]H[/math] 上のある線型作用素 T と、[math]H[/math] の部分空間 [math]W[/math] 上のある等長作用素 V に対して、T の [math]W[/math] への圧縮は次のように定義される。
- [math]T_W = V^*TV : W \rightarrow W.[/math]
ここで [math]V^*[/math] は V の共役作用素である。T が自己共役作用素であるなら、圧縮 [math]T_W[/math] もまた自己共役作用素である。V が恒等作用素 [math]I: W -\gt H[/math] で置き換えられるとき、[math]V^* = I^*=P_K : H -\gt W[/math] となり、上述の特殊な定義が得られる。
関連項目
参考文献
- P. Halmos, A Hilbert Space Problem Book, Second Edition, Springer-Verlag, 1982.